第二节 初等方阵
定义3 由单位矩阵经过一次的初等变换得到的方阵称为初等方阵。
三个对行的初等变换对应着三个初等方阵。
（1）互换E的i,j两行所得矩阵，记为
（2）用任意k≠0去乘E的第i行所得矩阵，记为
（3）把E的第i行乘以k加于第j行所得矩阵，记为
同样，三个对列的初等变换也对应着三个初等矩阵，分别记为
用初等方阵左乘（或右乘）任意矩阵，可达到对其进行同类型初等行（或列）变换一样的效果，现以任意3×4阶矩阵为例来说明这一点。
设
三个3阶行初等矩阵设为：
，
实现了A的第1，2行对换。
实现了A的第3行乘k
实现了A的第3行乘k加于第一行。
同样地，再设三个4阶列初等方阵为
，
则
实现了A的第2，3两列的对换。
实现了A的第2列乘k
实现了A的第1列乘k加于第3列。
由上面的例子可得下面重要定理。
定理1 设A为任意m×n阶矩阵，对A的行施以某种初等行变换的结果相当于用同种的m阶初等方阵去左乘A；对A的列施以某种初等列变换的结果相当于用同种的n阶初等方阵去右乘A。即为：
注意：左乘Am×n的是m阶初等方阵，实现的是初等行变换；右乘Am×n的是n阶初等方阵，实现的是初等列变换。
由定理1得下面的推论
推论 如果A经过若干次初等行变换得到B，那么必有若干个初等方阵E1，E2，…，Ek,使得B= E1E2…EkA；
如果A经过若干次初等列变换得到B，那么必有若干个初等方阵C1，C2，…，Cl, 使得B=AC1C2…Cl，
如果A～B，那么必有有限个初等方阵E1，E2，…，Ek, C1，C2，…，Cl，使得B= E1E2…Ek AC1C2…Cl。
定理2 任何一个初等矩阵均有逆，且其逆为同一种类型的初等矩阵。
证明：
同理可证：
定理3 若A为可逆矩阵，则它恒为若干个初等方阵之积。
证明：因为A为可逆矩阵，所以A～En，由推论1可得：必有有限个初等方阵E1，E2，…，Ek, C1，C2，…，Cl，使得
En = E1E2…Ek AC1C2…Cl
再由定理2得：每个初等矩阵均可逆，于是
，
又
也是初等方阵，所以得A恒等于若干个初等方阵之积。
根据定理1和定理3可得出一种求逆矩阵的方法。
因为A可逆，则A-1也可逆，故有初等方阵L1，L2，…，Lr,使得
A-1 =L1L2…Lr。
观察下面两个等式：
A-1 A=L1L2…LrA=E
A-1 E=L1L2…LrE= A-1
第一式表明：经过若干次初等行变换可将A化为单位矩阵E；第二式表明：经过若干次同样的初等行变换可将E化为A-1。
因此可先将n阶可逆方阵A与n阶单位阵E放在一起，得到一个n×2n阶矩阵，
，再对其施以初等行变换，把子块A化为E，同时子块E化为A-1。
这是常用的矩阵求逆的方法之一。
例3 已知矩阵
，求矩阵A的逆。
解：对
矩阵进行初等行变换
同样也可以利用初等列变换来求逆矩阵，这时对2n×n阶矩阵
施以初等列变换，当把上半子块A化为E时，下半子块E就化为A-1。
例4 求矩阵
解：对矩阵
进行初等列变换
=
