一、矩阵的加法
设A，B是m行，n列的同型矩阵
，
把它们对应位置上的元素相加得到的矩阵，称为A与B的和，记作A+B
例1 已知矩阵
，
，求A+B。
解： A+B=
+
=
注意：只有同型矩阵才能进行加法运算。
二、数与矩阵相乘
用数l乘以矩阵A的每一个元素而得到的矩阵，称为l与A的乘积, 记为lA或Al, 规定为lA=(laij). 即
特别地，l=-1时，
，
该矩阵称为矩阵A的负矩阵。
两个同型矩阵的减法运算可看成A-B=A+（-B）
矩阵的加减运算与数和矩阵相乘的运算统称为矩阵的线性运算。
线性运算满足下列运算规律：
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
例2 已知矩阵
，
，求
（1）A+B；（2）3A；（3）3A-2B
解（1）
（2）
（3）
三、矩阵的乘法运算
设有两个线性变换:
设x1,x2,与y1,y2,y3有如下线性关系：
——(1)
其系数矩阵
又设y1,y2,y3与z1,z2有如下线性关系:
. ——(2)
其系数矩阵
若想求出从x1、x2与z1、z2的线性变换, 可将(2)代入(1), 便得
. ——(3)
其系数矩阵
线性变换(3)可看成是先作线性变换(2)再作线性变换(1)的结果. 我们把线性变换(3)叫做线性变换(1)与(2)的乘积, 相应地把所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积, 即
.
定义4 设Am×p=(aij) m×p是一个m´p矩阵, B p×n =(Bij) p×n是一个p´n矩阵, 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB, 规定为m´n矩阵Cm´n=(cij) m´n, 其中
(i=1, 2,
×
×
×, m; j=1, 2,
×
×
× n).
例3 设
解：
必须注意: 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘.
矩阵乘法的几种特殊情况：
（1）如果A是n元行矩阵，B是n元列矩阵，那么AB是一个数值，BA是一个n阶方阵。
，
,
（2）如果A是m×n阶矩阵，
，B是n元列向量
，那么
（3）单位矩阵乘以任意矩阵还等于原矩阵。
同理
单位矩阵相当于数中的"1"。
矩阵的乘法满足下列运算规律：
(1)结合律 (AB)C=A(BC);
(2) l(AB)=( lA)B=A(lB). (其中l为数);
(3) 分配律 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
例4 设矩阵A=[1，3，5]，
，
，求AB，BA，AC
解： 
例5 设
,
, 求AB及BA.
解 
,
由上面的例子可以得出如下结论：
1.矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB≠BA，可从下面几个方面说明
（1）当AB可以相乘时，BA未必可以相乘，如A2×3与B3×4，AB有意义，但BA无意义。
（2）即使A=Am×n ，B=Bn×m，AB和BA都有意义，但AB是m阶方阵，BA是n阶方阵，所以AB≠BA。
（3）即使A，B都是n阶方阵，AB也不一定等于BA，见例5。
2.两个非零矩阵相乘可以是零矩阵，即A≠O，B≠O，但AB=O；反之，即使AB=O，也不能得出A=O或B=O的结论。
四、矩阵的转置运算
定义3 把m×n阶矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m阶新矩阵, 叫做A的转置矩阵, 记作AT 或A′
，
例6 设矩阵
矩阵的转置运算有如下运算规律：
（1）(O)T =O， 
；
(2)(A+B)T=AT+BT;
(3)(AT)T=A;
(4)(kA)T=kAT; (k为常数)
(5)(AB)T=BTAT.
下面证明（5）
设
再设
由矩阵的乘法规则，fij等于BT的第i行乘以AT的第j列，BT的第i行即B的第i列
AT的第j列即A的第j 行
所以
又因为
所以
即 (AB)T=BTAT.
例7 设矩阵
解：
定义4 设A为n阶方阵, 如果满足AT=A, 即aij=aji(i, j=1, 2, × × ×, n)则称A为对称矩阵, 简称对称阵.
例如，
是二阶对称矩阵。
是三阶对称矩阵。
是四阶对称矩阵。
对称阵的特点是: 除主对角线上元素外，其它的元素都以主对角线为对称轴对应相等。
例8 设A，B 都是n阶对称矩阵，证明AB是对称阵的充分必要条件是AB=BA。
证明：由A，B 都是对称矩阵，得AT=A，BT=B，
先证必要性：
设AB都是对称阵，则（AB）T=BTAT=BA=AB
再证充分性：
设AB=BA，于是（AB）T=BTAT=BA=AB，所以AB是对称阵。
