B树、B+树
文章参考：
终于把B树搞明白了(三)_B树的查找，B+树的引入_哔哩哔哩_bilibili
一. B树
1. 概述
1.1 为什么使用B树
对数据进行IO的耗时：影响IO的耗时有很多，这里主要将两点：
- 数据块的大小：磁盘IO的单位为磁盘块，将IO的磁盘块中的数据以页的形式存放在内存中。一般磁盘块和页的大小由操作系统决定，因此如果数据块过大，需要进行多次IO。
- IO的次数：这个涉及到数据的寻址次数，如二叉排序树，不同节点随机存放在不同的磁盘地址，在进行查找时，二分查找保证IO的最多次数为\(log(n)\)。
以往数据结构的缺点：
- 二叉排序树：遇到顺序插入会退化为链表。IO次数过多。
- 平衡二叉树：写的代价过高，需要进行多次旋转。
- 红黑树：数据量较大时，树的深度将会难以控制。会导致IO次数增多。
B树的核心思想：
因此我们需要改进，如果我们将节点的最大子节点树修改为M个而不2个，那么树的深度将会得到有效控制，此时纵向的IO次数大大减少。
此外，我们将每个节点的所有字节点顺序存储，放在一块内存中，这样一次IO就可以读到某个节点的所有子节点，随后在内存中对这些子节点进行对比。避免了横向的多次IO。
1.2 B树的定义
B树是一种多路搜索树，一棵m阶（每个节点最多有m个子节点）的B树满足如下条件：
- 树中每个节点至多有m个孩子。
- 根节点的儿子数为\([2, m]\)。
- 除根节点以外的非叶子节点的儿子数量为\([m/2, m]\)。
- 每个节点存放的关键字（就是索引，用于排序的）：
- 至少为\([m/2 - 1]\)（向上取整，且不能少于2个）
- 最多为\(m-1\)个。因为关键字之间是指向子节点的指针，而每个节点的字节最多为m个，那么每个节点的指针最多也是m个，所以关键字最多为m-1个。
- 非叶子节点的关键字：\(k[1],k[2],...,k[m-1]\)，有\(k[i]<k[i+1]\)。
- 非叶子节点的指针：\(p[1],p[2],...,p[m]\)，其中：
- \(p[1]\)指向的子树的所有关键字小于\(k[1]\)
- \(p[m]\)指向的子树所有关键字大于\(k[m-1]\)
- \(p[i]\)指向的子树的所有关键字大于\(k[i-1]\)，小于\(k[i]\)
- 所有叶子节点位于同一层。
1.3 一个3阶b树
从中可以得出以下结论：
- 指针存在为空的情况。
- B树中索引和该索引对应的记录（数据）存储在一起。
- 有时不需要读到叶子节点即可命中。
- 每个节点存在一块内存中，一次IO可以读取一块节点。
2. B树的搜索
逻辑：具体逻辑如下：
- 从根节点开始。
- 对当前节点，采用二分查找，如果命中，那么找到数据；否则进入3。
- 查找该关键字所在范围的指针指向的儿子节点，重复2、3操作。
- 如果3中对应范围的儿子节点为空，或者该节点已经是叶子节点，说明不存在该关键字，查找结束。
3. 插入
4. 删除
二. B+树
1. 概述
1.1 为什么要使用B+树
B树的缺陷：
B树将关键字和该关键字对应的记录绑定，一同记录在节点中。因为数据的大小是浮动的，且有很多时候数据会很大，而B树中节点的大小一般是固定的（一页或页的整数倍），这会导致每个节点中关键字数量较少。又因为\(指针数量=关键字数量+1\)，所以指针数量也会较少，那么该节点的字节点数量就会较少。树的宽度降低，那么深度自然增加。结果就是IO次数又变多了。
B树子节点数量限制：假设操作系统为64位，关键字为int，一行数据大小为1kB，节点的大小为一页（16kB），那么每个节点最多有几个子节点。
-
64位操作系统，指针大小为8B，关键字大小为4B。
-
假设指针m个，关键字m-1个，那么：
\[8m+(m-1)*(1k+4)=16k\\\\ k\approx 17 \]
而当每条记录数据量较大时，例如每条数据大小为8kB，那么一个节点就只有两个关键字了，显然，这会导致树的深度再次加深。
B+树的核心思想：
非叶子节点中不再记录数据，只存储指针和关键字，而数据只存储在叶子节点中。有以下优势：
- 一个节点可以存储众多指针和关键字，树的宽度大大增加。
- 只在叶子节点才会读到数据，十分稳定。
1.2 B+树的定义
B+树是一种B树的变体，也是一种多路搜索树。对于一棵m阶B+树，有：
-
和B树一样的：
-
树中每个节点至多有m个孩子。
-
根节点的儿子数为\([2, m]\)。
-
除根节点以外的非叶子节点的儿子数量为\([m/2, m]\)。
-
每个节点存放的关键字（就是索引，用于排序的）：
- 至少为\([m/2 - 1]\)（向上取整，且不能少于2个）
- 最多为\(m-1\)个。因为关键字之间是指向子节点的指针，而每个节点的字节最多为m个，那么每个节点的指针最多也是m个，所以关键字最多为m-1个。
-
非叶子节点的关键字：\(k[1],k[2],...,k[m-1]\)，有\(k[i]<k[i+1]\)。
-
-
和B树不一样的：
- 非叶子节点的子树指针和关键字数量一致。
- 非叶子节点的子树指针\(p[i]\)，指向的子树关键字范围是：\([ k[i], k[i+1] )\)（注意是左闭右开）
- 为所有的叶子节点增加一个链指针。
- 所有的关键字在叶子节点中均出现。
1.3 一个3阶B+树
其中：
- 所有的关键字都在叶子节点出现，以链表的形式顺序存储。
- 因为只有叶子节点存有数据，因此只有在叶子节点才能命中。
- 非叶子节点相当于叶子节点的索引。
- 每一个叶子节点都包含一个指向下一个叶子节点的指针。这方便了叶子节点的
范围遍历。 - 更加适合文件索引系统。
2. B+树的搜索
和B树类似，区别主要有两点：
- B+树必须到叶子节点才能命中，因为只有叶子节点存储了数据。
- B+树叶子节点之间通过指针相连，遍历十分方便。而B树的遍历则只能通过中序遍历才能得到递增的序列。
3. 为什么MySQL使用B+树而非B树作为索引结构
-
B+树的IO次数更少。
- B+树非叶子节点只用来存储关键字和指针，不存储数据。因此非叶子节点可以有更多的子节点。树的深度得以降低，平均IO次数更少。
- B树中所有节点中的关键字和数据均成对出现，即便是在非叶子节点中。因此单个非叶子节点容纳的关键字数量较少，树的宽度被限制，深度增加，平均IO次数增加。
-
B+树的查询效率更稳定。
- B+树将所有数据存储在叶子节点，因此每次查询都要到叶子节点。
- 而B树则可能在非叶子节点命中。
-
B+树更加擅长范围查找：
- B+树的叶子节点通过指针双向指针相连，可以直接遍历。
- B树的范围查找只能通过中序遍历进行，效率较低。
-
B+树更加适合遍历。
- B+树将所有数据和对应关键字存在叶子节点中，不同叶子节点之间通过指针相连，因此遍历只需要扫描一遍叶子节点即可。
- B树非叶子节点也有数据，因此遍历要走所有节点，也需要遍历那些没有数据的节点。
