五. 图像空间域锐化算法

五. 图像空间域锐化算法

目的:增强图像的边缘或者轮廓。

数学意义:通过微分使得图像边缘更加突出、清晰。因为图像边缘灰度变化率更高,显然微分后得到的值相较于其它部分更大。

5.1 梯度

数学定义:

对于图像f(x,y),在点(x,y)处的梯度定义为:

(1)f=grad(f)=[gxgy]=[f(x,y)xf(x,y)y]

本质上,梯度是一个向量,其大小为:

(2)M(x,y)=gx2+gy2

其方向为:

(3)θ=arctan(gxgy)

5.2 梯度算子

差分公式:

在离散图像中适用一阶差分来近似一阶偏导数,公式如下:

(4)gx=f(x+1,y)f(x,y)gy=f(x,y+1)f(x,y)

模板:

模板使用方法:分别使用相对位置的数字乘上对应位置的灰度值,然后相加。

gx:

[11]

gy:

[11]

简化计算:

为了简化计算流程,尝试用以下两种公式代替数学上定义的向量计算公式:

  • (5)grad(f)=Max(|gx|,|gy|)

  • (6)grad(f)=|gx|+|gy|

5.3 Roberts算子

差分公式:

(7)gx=f(x+1,y+1)f(x,y)gy=f(x+1,y)f(x,y+1)

对应模板:

模板使用方法:分别使用相对位置的数字乘上对应位置的灰度值,然后相加。

gx:

[1001]

gy:

[0110]

5.4 Prewitt算子

差分公式:

(8)gx=𝑓(𝑥+1,𝑦1)𝑓(𝑥1,𝑦1)+𝑓(𝑥+1,𝑦)𝑓(𝑥1,𝑦)+𝑓(𝑥+1,𝑦+1)𝑓(𝑥1,𝑦+1)gy=𝑓(𝑥1,𝑦+1)𝑓(𝑥1,𝑦1)+𝑓(𝑥,𝑦+1)𝑓(𝑥,𝑦1)+𝑓(𝑥+1,𝑦+1)𝑓(𝑥+1,𝑦1)

对应模板:

gx:

[111000111]

gy:

[101101101]

5.5 Sobel算子

对应模板:

gx:

[121000121]

gy:

[101202101]

5.6 不同梯度输出图像

不同梯度:

  1. g(x,y)=grad(f)

    增强的图像仅显示灰度变化比较陡的边缘轮廓,而灰度变化比较平缓或均匀的区域则呈黑色。

  2. g(x,y)={grad(f),grad(f)Tf(x,y),

    适当选取T,可以使得明显的边缘轮廓得到突出,又不会破坏原来灰度变化比较平缓的背景。

  3. g(x,y)={LG,grad(f)Tf(x,y),

    LG是一个固定值,将明显的边缘使用一个固定的灰度值来表示。

  4. g(x,y)={grad(f),grad(f)TLB,:

    LB是一个固定值,将图像较为平滑的部分(也就是锐化后的背景)使用一个固定的灰度值来表示。便于研究边缘灰度值的变化。

  5. g(x,y)={LG,grad(f)TLB,

    LGLB均为固定值,可以生成二值图像,便于研究边缘所在位置。

输出图像案例:

image-20230606111041456

5.7 Laplacian增强算子

原理:使用二阶偏导数,可以更加精确的过滤背景,仅求出边缘部分。

作用:通过求出的边缘图像与原始图像叠加,能够得到对图像边缘进行增强的锐化图像。

二阶差分公式:

(9)2f(x,y)x2=f(x+1,y)+f(x1,y)2f(x,y)2f(x,y)xy=f(x,y+1)+f(x,y1)2f(x,y)

算子公式:

(10)2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x1,y)+f(x,y+1)+f(x,y1)4f(x,y)

算子的四种常用模板表达:

  • [010141010]

  • [111181111]

  • [010141010]

  • [111181111]

锐化公式:

(11)g(x,y)=f(x,y)α2f(x,y)

其中:α视我们采用的算子模板来决定:

  • 使用前两个算子模板:alpha=1
  • 使用后两个算子模板:alpha=1

最终的Laplacian锐化模板:

  • 四邻域Laplacian锐化模板:

    [010151010]

  • 八邻域Laplacian锐化模板:

    [111191111]

实际操作步骤:

  1. 选定Laplacian算子模板。
  2. 根据选定的Laplacian算子模板,选择相应的α,构造Laplacian锐化模板。
  3. 遍历图像,对所有像素求二阶差分。
    1. 边界图像不求直接归0,或填充后再求。
    2. 二阶差分小于0的注意归0。
  4. 得到了加重边缘的图像,将其与原始图像相加,得到锐化图像。(注意越界的像素灰度设为上限值,一般是255)

Laplacian锐化案例:

image-20230606113219784
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