四. 图像空间域平滑算法

四. 图像空间域平滑算法

4.1 概述

简单来说:就是使用卷积核进行卷积的过程。关键在于卷积核的选取和图像边界的处理。

包括:

  • 线性滤波器:
    • 均值滤波器
    • 高斯滤波器
  • 非线性滤波器:
    • 最大值滤波器
    • 最小值滤波器
    • 中值滤波器
    • 高斯滤波器

数学意义:

通过积分使得图像边缘模糊。由傅里叶变化可知,任何具有周期的函数可以变换为n个不同振幅(A)、频率(1T)、相位(θ)的正弦、余弦函数的和。通过积分,T越小,积分后该项函数的振幅越小,对函数的影响就越小,从而达到去除某些急速变换的信号的目的,也就达到的平滑的效果。上述结论对于周期趋于无穷的函数同样适用,具体原理和公式推导将会在”傅里叶变换部分“再详细探讨。

作用:

  • 降噪:在对大目标提取前先删除图像中的琐碎细节。
  • 模糊化:因为典型的噪声是由灰度急剧变化造成的,例如椒盐噪声,可以使用中值滤波器,良好的去除噪声。

4.2 均值滤波器

思路:使用领域内各个像素的灰度平均值来代替像素原来的值。

EG:

假设现有图像如下:

[01251523234823483233351323152325522452241235235331253133]

现在取核,尺寸为3,进行均值滤波:

[111111111]

解答如下:

  • 对于非边界像素:遍历图像,对图像进行卷积操作,以[1,1]为例:

    g([1,1])=19(10+11+12+12+13+14+13+12+13)=209=2

  • 对于边界像素,常见的有两种操作:

    • 只处理边界范围内的,意思是像[0,0],[1,0],[0,1],[0,2]这样的边界像素点不管了,这样得到的图像会比原来的小。
    • 对原图像进行填充,使得原图像部分不会出现无法滤波的边界像素。这又分为两种情况:
      • 用0填充。不推荐,因为会导致边界滤波后像素值偏小,可能会出现黑边现象。
      • 拷贝原有边界值进行填充,四个角直接取原本四个角的值。这样就可以有效避免黑边现象。

一些常见滤波模板:

110[111121111]

116[121242121]

18[111101111]

12[0140141140140]

不用的核,对应的中心点或邻域的重要性不同。

优缺点:

  • 优点:可减少图像的尖锐变化,减少噪声。
  • 缺点:会产生模糊,特别在边缘和细节处。而且邻域越大去噪能力越强,但图像会越模糊。

4.3 阈值平滑法

为了克服简单邻域平均法的缺点,目前已提出许多保边缘、 细节的邻域平滑算法。出发点都集中在如何选择邻域的大小、形状和方向、参加平均的点数以及邻域各点的权重系数等。阈值平滑法就是其中的一种。

公式:假设g(x,y)为平滑后的图像,f(x,y)为平滑前的图像,那么有:

(1)g(x,y)={g(x,y)|f(x,y)g(x,y)|>Tf(x,y)

其中T=kσfσf为图像f(x,y)的均方差

优缺:

  • 优点:对于克服椒盐噪声比较有效,对保护仅有微小灰度差的细节及纹理也有效。
  • 缺点:邻域越大去噪能力越强,但图像依然会越模糊

4.4 非线性滤波器

4.4.1 中值滤波器

思路:

因为图片噪声往往都是灰度突变造成的,典型的例如椒盐噪声,因此如果以某像素为中心,取一个窗口(内含元素必须是奇数,这是为了便于取中值),对窗口内所有像素按灰度值进行排序,如果窗口内含有噪声像素,那么噪声像素大概率在两边,所以我们取中值代替原来窗口的中心像素的灰度值。

EG:

现有图像如下:

[0125152322554823483233351323152325522452241235235331253133]

我们选取3*3的正方形窗口,以[1,1]为中心进行中值滤波:

解答如下:

先排序:{0,1,2,2,2,3,3,4,255}

再选取中值替换中心像素,即把255替换为2。

窗口选取:

  • 大小:中值滤波器的关键在于选取大小适合的窗口,但一般很事先确定,一般都是从小到达尝试出来的。

  • 形状:不同的窗口形状也会产生不同的效果。一般来说:

    • 方形圆形窗口适宜于外轮廓线较长的物体图像。

    • 十字形窗口对有丰富尖顶角状的图像效果较好。

    • 需要保持细线状及尖顶角目标物 细节时,最好不要采用中值滤波。

一些典型的窗口:

image-20230605164255503

重要特性:

  • 对离散阶跃信号和斜升(或斜降)信号不产生影响。
  • 连续个数小于窗口一半宽度的离散脉冲将被滤除。
  • 三角形信号的顶部被削平。

优缺点:

  • 优点:它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好,在抑制随机噪声 的同时能有效保护边缘少受模糊
  • 缺点:对点、线等细节较多的图片并不适合。

4.4.2 最大/小值滤波器

顾名思义,相较于中值滤波器,使用像素邻域内的最大/小值代替该像素。具体应用场景暂时不清楚。

  • 最大值滤波器:对于椒噪声(灰度值为0)的过滤有较好的效果。
  • 最小值滤波器:对于盐噪声(灰度值为255)的过滤有较好的效果。

4.5 高斯滤波器

思想概述:高斯滤波器也是一种线性滤波器,与一般均值滤波器不同点在于其核的灰度值由由高斯分布来计算,最后累加求平均。

公式:

假设现有核大小为(2k+1)(2k+1),那么核中各个像素的灰度值为:

(2)g(i,j)=12πσ2e(ik1)2(jk1)22σ2

其中的σ为高斯核标准差,并不是计算出来的,而是根据需求手动指定,类似于机器学习中的超参数。性质也符合高斯分布:

  • σ越大:核的数据分布就越分散,各部分所占比重也就越平均。
  • σ越小:核的数据就越向中间集中,中心像素所占比重就越大。

模板形式:

  • 小数形式:就是对公式(2)得出的结果不加进一步处理而直接使用。
  • 整数形式:进行归一化处理,将左上角的灰度值转换为1,其余灰度值套用同等函数进行缩放,最后向下取整。
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