四. 图像空间域平滑算法

合集 - 数字图像处理(5)

1.一. 数字图像处理基础2023-06-012.二. 图像运算、坐标变化、灰度插值2023-06-023.三. 空间域灰度变换2023-06-05

4.四. 图像空间域平滑算法2023-06-05

5.五. 图像空间域锐化算法2023-06-06

收起

四. 图像空间域平滑算法

4.1 概述

简单来说：就是使用卷积核进行卷积的过程。关键在于卷积核的选取和图像边界的处理。

包括：

• 线性滤波器：
  • 均值滤波器
  • 高斯滤波器
• 非线性滤波器：
  • 最大值滤波器
  • 最小值滤波器
  • 中值滤波器
  • 高斯滤波器

数学意义：

通过积分使得图像边缘模糊。由傅里叶变化可知，任何具有周期的函数可以变换为n个不同振幅（A）、频率($\frac{1}{T}$)、相位($\theta$)的正弦、余弦函数的和。通过积分，T越小，积分后该项函数的振幅越小，对函数的影响就越小，从而达到去除某些急速变换的信号的目的，也就达到的平滑的效果。上述结论对于周期趋于无穷的函数同样适用，具体原理和公式推导将会在”傅里叶变换部分“再详细探讨。

作用：

• 降噪：在对大目标提取前先删除图像中的琐碎细节。
• 模糊化：因为典型的噪声是由灰度急剧变化造成的，例如椒盐噪声，可以使用中值滤波器，良好的去除噪声。

4.2 均值滤波器

思路：使用领域内各个像素的灰度平均值来代替像素原来的值。

EG：

假设现有图像如下：

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 5 & 1 & 5 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 8 & 2 & 3 & 4 & 8 \\ 3 & 2 & 3 & 3 & 3 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 2 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & 2 & 2 & 4 & 5 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 2 & 3 & 5 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 3 & 1 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix}$$

现在取核，尺寸为3，进行均值滤波：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

解答如下：

• 对于非边界像素：遍历图像，对图像进行卷积操作，以[1,1]为例：

  $$g([1,1])=\frac{1}{9}(1*0+1*1+1*2+1*2+1*3+1*4+1*3+1*2+1*3)=\frac{20}{9}=2$$

• 对于边界像素，常见的有两种操作：

  • 只处理边界范围内的，意思是像[0,0]，[1,0]，[0,1]，[0,2]这样的边界像素点不管了，这样得到的图像会比原来的小。
  • 对原图像进行填充，使得原图像部分不会出现无法滤波的边界像素。这又分为两种情况：
    • 用0填充。不推荐，因为会导致边界滤波后像素值偏小，可能会出现黑边现象。
    • 拷贝原有边界值进行填充，四个角直接取原本四个角的值。这样就可以有效避免黑边现象。

一些常见滤波模板：

$$\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \end{bmatrix}$$

不用的核，对应的中心点或邻域的重要性不同。

优缺点：

• 优点：可减少图像的尖锐变化，减少噪声。
• 缺点：会产生模糊，特别在边缘和细节处。而且邻域越大去噪能力越强，但图像会越模糊。

4.3 阈值平滑法

为了克服简单邻域平均法的缺点，目前已提出许多保边缘、 细节的邻域平滑算法。出发点都集中在如何选择邻域的大小、形状和方向、参加平均的点数以及邻域各点的权重系数等。阈值平滑法就是其中的一种。

公式：假设$g(x,y)$为平滑后的图像，$f(x,y)$为平滑前的图像，那么有：

$$g(x,y)= \begin{cases} g(x,y)，当|f(x,y)-g(x,y)|>T \\ f(x,y)，其它 \end{cases} \tag{1}$$

其中$T=k\sigma_f$，$\sigma_f$为图像f(x，y)的均方差。

优缺：

• 优点：对于克服椒盐噪声比较有效，对保护仅有微小灰度差的细节及纹理也有效。
• 缺点：邻域越大去噪能力越强，但图像依然会越模糊

4.4 非线性滤波器

4.4.1 中值滤波器

思路：

因为图片噪声往往都是灰度突变造成的，典型的例如椒盐噪声，因此如果以某像素为中心，取一个窗口（内含元素必须是奇数，这是为了便于取中值），对窗口内所有像素按灰度值进行排序，如果窗口内含有噪声像素，那么噪声像素大概率在两边，所以我们取中值代替原来窗口的中心像素的灰度值。

EG:

现有图像如下：

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 5 & 1 & 5 & 2 & 3 \\ 2 & 255 & 4 & 8 & 2 & 3 & 4 & 8 \\ 3 & 2 & 3 & 3 & 3 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 2 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & 2 & 2 & 4 & 5 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 2 & 3 & 5 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 3 & 1 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix}$$

我们选取3*3的正方形窗口，以[1,1]为中心进行中值滤波：

解答如下：

先排序：$\{0,1,2,2,2,3,3,4,255\}$

再选取中值替换中心像素，即把255替换为2。

窗口选取：

• 大小：中值滤波器的关键在于选取大小适合的窗口，但一般很事先确定，一般都是从小到达尝试出来的。

• 形状：不同的窗口形状也会产生不同的效果。一般来说：

  • 方形或圆形窗口适宜于外轮廓线较长的物体图像。

  • 十字形窗口对有丰富尖顶角状的图像效果较好。

  • 需要保持细线状及尖顶角目标物 细节时，最好不要采用中值滤波。

一些典型的窗口：

重要特性：

• 对离散阶跃信号和斜升（或斜降）信号不产生影响。
• 连续个数小于窗口一半宽度的离散脉冲将被滤除。
• 三角形信号的顶部被削平。

优缺点：

• 优点：它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好，在抑制随机噪声 的同时能有效保护边缘少受模糊
• 缺点：对点、线等细节较多的图片并不适合。

4.4.2 最大/小值滤波器

顾名思义，相较于中值滤波器，使用像素邻域内的最大/小值代替该像素。具体应用场景暂时不清楚。

• 最大值滤波器：对于椒噪声（灰度值为0）的过滤有较好的效果。
• 最小值滤波器：对于盐噪声（灰度值为255）的过滤有较好的效果。

4.5 高斯滤波器

思想概述：高斯滤波器也是一种线性滤波器，与一般均值滤波器不同点在于其核的灰度值由由高斯分布来计算，最后累加求平均。

公式：

假设现有核大小为$(2k+1)(2k+1)$，那么核中各个像素的灰度值为：

$$g(i,j)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma^2}e^{-\frac{(i-k-1)^2(j-k-1)^2}{2\sigma^2}} \tag{2}$$

其中的$\sigma$为高斯核标准差，并不是计算出来的，而是根据需求手动指定，类似于机器学习中的超参数。性质也符合高斯分布：

• $\sigma$越大：核的数据分布就越分散，各部分所占比重也就越平均。
• $\sigma$越小：核的数据就越向中间集中，中心像素所占比重就越大。

模板形式：

• 小数形式：就是对公式(2)得出的结果不加进一步处理而直接使用。
• 整数形式：进行归一化处理，将左上角的灰度值转换为1，其余灰度值套用同等函数进行缩放，最后向下取整。