矩阵快速幂

矩阵快速幂
用于解决长项数的递推问题，如求斐波那契数列的第n项对$1e9+7$取模的结果，$n>10^7$
斐波那契数列递推式为$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$
采用用传统方法线性递推过去在$n$ 过大时会出现超时问题
对于该问题，我们可以找出递推矩阵并使用快速幂求解
$\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} f(n-1)\\f(n-2)\end{matrix}\right]$=$\left[\begin{matrix}f(n)\\f(n-1)\end{matrix}\right]$

故对任意的n>=3有
$A^{n-2}$ $\left[\begin{matrix}f(2)\\f(1)\end{matrix}\right]$ =$\left[\begin{matrix}f(n)\\f(n-1)\end{matrix}\right]$

其中A为递推矩阵
对于$A^{n-2}$ 使用快速幂方法求解

def matrix_dot(a,b):
    #矩阵相乘
    if a==None or b==None:
        print("matrix is null")
        return None 
    if len(a[0])!=len(b):
        print("the dimension of a and b is not correct")
        return None 
    r=[[0 for i in range(len(b[0]))] for j in range(len(a))]
    for i in range(len(a)):
        for j in range(len(b[0])):
            for k in range(len(a[0])):
                r[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]
            r[i][j]=r[i][j]%mod 
    return r 

    

def matrix_pow(a,n):
    #快速幂
    base=[[0 for i in range(len(a))] for j in range(len(a[0]))]
    for i in range(len(a)):
        base[i][i]=1
    while(n):
        if n%2==1:
            base=matrix_dot(a,base)
        a=matrix_dot(a,a)
        n=n//2

    return base