Largest Rectangle in Histogram

Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

 

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

 

For example,
Given heights = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

---

 

【解题思路】：对于高低不平的一个个矩形块，找出最大的矩形面积。可以申请一个栈s，维护递增的矩形条。当输入的矩形条高度大于栈顶矩形条高度，则将矩形条的位置入栈。直到输入的矩形条i高度小于栈顶矩形条高度，则将栈内高度大于矩形条i的矩形条一一弹出，计算面积area=当前弹出的矩形条k的高度*从矩形条i的位置开始到前面比k小的矩形条的位置为止（不包括这个比它小的矩形条的位置和i的位置）的横向距离；其中比刚弹出的矩形条k短的矩形条的位置，应该是弹出k后，此时栈顶元素所对应的矩形条高度。若弹出k后，栈空了，那么也就是说k矩形条之前没有比其更短的矩形条了，也就是矩形条i之前的所有矩形条高度都是大于k的。这个计算以矩形条k的高度为高的矩形面积的横向长度的公式用程序描述为：横向长度=s.empty()?i:i-s.top()-1;  为了计算所有的矩形条的面积，需要在heights的最后加上一个矩形条，高度为0；

以给出的例子为例，模仿计算过程：

首先栈是空的，那么矩形条0入栈，索引号i++,当i=1时，矩形条1的高度小于栈顶矩形条高度，则将栈顶矩形条位置弹出，计算area=2*1=2.

 

计算完area后，将矩形条1压入栈，然后i++,一直到i=4，矩形条4的高度小于栈顶高度。首先弹出栈顶元素矩形条3，计算area=height[3]*(4-2-1)=6，

接着弹出栈顶元素矩形条2，计算area=height[2]*(4-1-1)=10。不断更新area，得到最大值。直到矩形条1的高度小于矩形条4，结束计算。

 

 

将矩形条4压入栈中，矩形条5压入栈中，一直到最后一个元素0，小于栈顶元素。此时栈内有元素矩形条1、4、5 ，开始弹出栈内矩形条，计算面积。计算过程如下图所示。

 

 

以上就是该题的具体解决过程，那么这样的解题思路怎么能保证所计算的area中的最大值就是最大的矩形呢？

其实通过上述图解，可以看到这个过程是在求以每个矩形条为高度的最大面积，所以计算中的这些最大面积中的最大值就是最大的矩形面积。比如图1中以矩形条0为高度的最大矩形面积，图2是以矩形条4为高度的最大矩形面积，图3是以矩形条5为高度的最大矩形面积，等等。总共有6个矩形条，那么就共需要计算6次，6次计算中的最大值就是最大的矩形面积。该算法的时间复杂度为O(n)。

---

int largest_area(vector<int>& height)
{
        stack<int> s;
        height.push_back(0);
        int result=0;
        for(int i=0;i<height.size();)
        {
                if(s.empty()||height[i]>height[s.top()])
                {
                        s.push(i++);
                }
                else
                {
                        int tmp=s.top();
                        s.pop();
                        result=max(result,height[tmp]*(s.empty()?i:i-s.top()-1));
                }
        }
        return result;
}