随笔 - 16,  文章 - 0,  评论 - 4,  阅读 - 9027

在多目标优化(Multi-Objective Optimization,MOO)问题中,理想点(Ideal Point)纳迪尔点(Nadir Point) 是两个重要的概念,常用于描述 Pareto 前沿的特征,帮助评估解的分布和收敛性。


1. 理想点(Ideal Point)

定义

理想点是在所有目标上都最优的假想点,即:

  • 它的每个目标值都是所有 Pareto 解集中对应目标的最优值(极小值或极大值)。
  • 由于多目标优化通常存在目标冲突,理想点一般是不可行的,即实际问题中通常没有解能同时达到所有目标的最优值。

数学表示 

设优化问题有  M个目标函数 f1,f2,,fM,理想点的每个分量计算如下:

zi=minxXfi(x),i=1,2,,M

其中:

  • X 是可行解空间,
  • fi(x) 是目标函数 iii 的值,
  • zi 是理想点在第 iii 个目标上的值。

作用

  • 衡量解集向最优解的靠近程度(delta_ideal)。
  • 在方法如理想点法(Ideal Point Method)Chebyshev 方法中用于计算加权偏好。
  • 计算归一化目标值,便于分析目标函数的尺度差异。

2. 纳迪尔点(Nadir Point)

定义

纳迪尔点是在所有目标上都最差的假想点,即:

  • 它的每个目标值都是所有 Pareto 解集中对应目标的最劣值(最大值或最小值)。
  • 纳迪尔点一般也不可行,因为它假设所有目标同时处于各自的最坏情况。

数学表示

 

类似于理想点,纳迪尔点的计算如下:

zinad=maxxXPfi(x),i=1,2,,M

其中:

  • XP 是 Pareto 前沿上的解集,
  • zinad 是纳迪尔点在第 iii 个目标上的值。

作用

  • 衡量 Pareto 解集的扩展程度(delta_nadir)。
  • 用于归一化目标值,计算分布均匀性。
  • 在**指标如超体积(Hypervolume)**等评估方法中用于计算参考点。

3. 理想点与纳迪尔点的区别

 理想点(Ideal Point)纳迪尔点(Nadir Point)
定义 Pareto 前沿各目标的最优值 Pareto 前沿各目标的最劣值
计算方式 取所有解在每个目标上的最小值(或最大值) 取 Pareto 前沿解在每个目标上的最大值(或最小值)
可行性 一般不可行 一般不可行
用途 衡量解的最优性、用于加权目标优化 衡量 Pareto 解的扩展性、用于归一化
相关指标 delta_ideal(理想点收敛度) delta_nadir(解集扩展性)

4. 图示

可以用 2 维目标优化问题直观理解:

 


总结

  • 理想点(Ideal Point):最优但不可行的假想目标值,用于衡量收敛性。
  • 纳迪尔点(Nadir Point):最差但不可行的假想目标值,用于衡量解集扩展性。
  • 这些概念常用于多目标优化算法,如NSGA-IINSGA-IIIMOEA/D,帮助评估解的质量和多样性。

有用链接 https://en.wikipedia.org/wiki/Multi-objective_optimization

posted on   bdshr  阅读(27)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· DeepSeek “源神”启动!「GitHub 热点速览」
· 我与微信审核的“相爱相杀”看个人小程序副业
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· C# 集成 DeepSeek 模型实现 AI 私有化(本地部署与 API 调用教程)
· spring官宣接入deepseek,真的太香了~
< 2025年2月 >
26 27 28 29 30 31 1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 1
2 3 4 5 6 7 8

点击右上角即可分享
微信分享提示