P3746 【[六省联考2017]组合数问题】

题目是要我们求出如下柿子：

\[\sum_{i=0}^{n}C_{nk}^{ik+r} \]

考虑k和r非常小，我们能不能从这里切入呢？

如果你注意到，所有组合数上方的数\(\%k==r\)，那么是不是可以从\(DP\)开始呢？

跟据上述性质，我们可以得到暴力\(DP\)：

考虑组合数的实际意义是在n个数中选出m个，那么我们可以设\(dp[i][j]\)表示在i个元素中，选了\(m\%k==j\)的方案数

转移就可以用\(dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1]\)了，根据你的欧气，你可以获得\(45-70\)分的分数

由于空间原因，暴力代码用了滚动数组；由于文章长度原因，暴力代码省去了一些没必要的东西

\(Brute:\)

#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define drep(i, s, t) for(re int i = t; i >= s; -- i)
int n, m, p, r, dp[55];
int main() {
	n = read(), p = read(), m = read(), r = read(), dp[0] = 1;
	rep(i, 1, n * m) {
		int pax = dp[m - 1];
		drep(j, 1, m - 1) dp[j] = (dp[j - 1] + dp[j]) % p;
		dp[0] = (dp[0] + pax) % p;
	}
	printf("%d", dp[r]);
	return 0;
}

那么我们还可以怎么优化呢？

考虑到\(N*K\)达到了\(5*10^{10}\)，我们考虑矩阵优化：

我们怎么从\(dp[i - 1][0……m-1]\)推出\(dp[i][0……m-1]\)呢？

只需要构造一个\(50*50\)的矩阵，第一行中第一列和最后一列为\(1\)，其余第\(i\)行第\(i\)列和第\(i-1\)列为1，其他都是\(0\)，问题便可以解决

注意，矩阵初始化的时候不能直接\(=1\)，要考虑\(k=1\)的情况

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;
}
#define rep(i, s, t) for(int i = s; i <= t; ++ i)
int n, m, p, r;
struct Martix {
	int a[55][55];
	void Init() { rep(i, 1, m) a[i][i] = 1; }
	void Mem() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
}Ans, Base;
Martix Mul(Martix a, Martix b) {
	Martix c; c.Mem();
	rep(i, 1, m) rep(j, 1, m) rep(k, 1, m) c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j] % p) % p;
	return c;
}
Martix Pow(Martix a, int b) {
	Martix R; R.Mem(), R.Init();
	while(b) {
		if(b & 1) R = Mul(R, a);
		a = Mul(a, a), b >>= 1;
	}
	return R;
}
signed main() {
	n = read(), p = read(), m = read(), r = read();
	++ Base.a[1][1], ++ Base.a[1][m], ++ Ans.a[1][1];
	rep(i, 2, m) ++ Base.a[i][i], ++ Base.a[i][i - 1];
	Ans = Mul(Ans, Pow(Base, n * m));
	printf("%lld", Ans.a[1][1 + r]);
	return 0;
}