Product（欧拉函数）
先吐槽一波：凉心出题人又卡时间又卡空间
先来化简一波柿子
\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}
\]
\[=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{i*j}{gcd(i,j)^2}
\]
\[=(\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}i*j)*(\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd(i,j))^{-2}
\]
先看前面的那一坨：
\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}i*j
\]
\[=\prod_{i=1}^{n}(i^n*n!)$（不理解可以把上述式子打开，就可以发现了）
$$=(n!)^{n}*\prod_{i=1}^{n}i^n\]
\[=(n!)^n*(n!)^n
\]
\[=(n!)^{2n}
\]
然后我们来看后面那一坨（先不看-2次方）：
\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd(i,j)
\]
\[=\prod_{d=1}^{n}\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]
\]
\[=\prod_{d=1}^{n}d^{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]}
\]
\[=\prod_{d=1}^{n}d^{\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)==1]}
\]
先只看指数：
\[\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)==1]
\]
这不就是仪仗队吗？
所以我们只要求出啦欧拉函数前缀和，就可以用欧拉函数\(O(1)\)算出指数了~
所以我们把柿子综合一下：
令$$sum[x]=\sum_{i=1}^x\phi(i)$$
原式化为：$$(n!){2n}*(\Pi_{d=1}d{2*sum[\frac{n}{d}]-1})$$
然后我们就可以\(O(nlogn)\)求出答案了
最后注意一下，因为欧拉函数前缀和会爆int，所以要用longlong，但是这样就会MLE，所以我们要考虑优化
根据欧拉定理，因为模数为质数，所以\(\phi(mod)=mod-1\)，所以原式我们可以进一步化为：
\[(n!)^{2n}*(\prod_{d=1}^{n}d^{(2*sum[\frac{n}{d}]-1)\%(mod-1)})^{-2}
\]
这样就可以不需要longlong了
下面给出代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 104857601
il int read()
{
re int x=0,f=1;re char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
#define maxn 1000000+5
int n,cnt,ans1=1,prim[80000],ans2=1,pai[maxn];
bool vis[maxn];
il int qpow(int a,ll b)
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1ll) r=1ll*r*a%mod;
b>>=1ll;
a=1ll*a*a%mod;
}
return r;
}
int main()
{
n=read();
pai[1]=1;
for(re int i=2;i<=n;++i)
{
ans1=1ll*ans1*i%mod;
if(!vis[i]) prim[++cnt]=i,pai[i]=i-1;
for(re int j=1;j<=cnt;++j)
{
if(prim[j]*i>n) break;
vis[prim[j]*i]=1;
if(i%prim[j]==0) {pai[i*prim[j]]=pai[i]*prim[j];break;}
pai[i*prim[j]]=pai[prim[j]]*pai[i];
}
}
for(re int i=1;i<=n;++i) pai[i]=pai[i]*2+pai[i-1]%(mod-1);
ans1=qpow(ans1,2*n);
for(re int i=2;i<=n;++i) ans2=1ll*ans2*qpow(i,pai[n/i]-1)%mod;
printf("%d",(1ll*ans1*qpow(1ll*ans2*ans2%mod,mod-2))%mod);
return 0;
}
