杂谈 1：论 $[l, r]$ 之间的非平方数

Part 0 例题

先看一道例题；

给定两个数 $l, r$，求 $l \sim r$ 之间有多少个数不是平方数。平方数的定义：是一个数的平方。如 $16$ 是平方数，因为 $4^2 = 16$，$11$ 则不是，因为 $\sqrt{11}$ 不为整数。数据范围：$1 \le l, r \le 10^9$。

有些人一看到题目就像：“这不纯暴力吗？”。是的，大多数人看到题目的第一直觉是暴力。但是随着 $l, r$ 的增大，暴力算法会跑得很慢，下面介绍几种算法来解决这个问题。

Part 1 纯暴力

直接枚举 $[l, r]$ 区间，对于每个 $i$ 判断 $\sqrt{i} - \lfloor \sqrt{i} \rfloor$ 是否为 $0$。（因为平方数开根是整数）如果是，计数器 $+1$。最后输出 $r - l + 1$ 减去计数器里的数即可。

代码；

ll ans = 0;
for (int i = l; i <= r; ++ i) {
  if (sqrt(i) - int(sqrt(i)) == 0) {
    ++ ans;
  }
}
cout << (r - l + 1) - ans << '\n';

但是，这种算法的时间复杂度是 $O(r - l + 1)$。如果 $r - l + 1$ 超过 $10^8$ 会超时（注意，sqrt 函数也占用一定时间）。下面就介绍另一种算法。

Part 2 小暴力

这种算法属于暴力，但不是纯暴力。大概的思路就是：定义两个变量 $A, B$。从 $l$ 开始，一个一个数枚举，找到 $[l, r]$ 之间的最小的平方数并存进 $A$ 里。再从 $r$ 开始，一个一个数枚举，找到 $[l, r]$ 之间的最大的平方数并存进 $B$ 里。

如果两个都没找到（即 $A = B = 0$)，答案为 $r - l + 1$（因为 $A = B = 0$ 表示 $[l, r]$ 之间没有平方数），否则答案为 $(r - l + 1) - (B - A + 1)$（序列长度减去区间平方数，读者可自证为什么 $B - A + 1$ 是 $[l, r]$ 之间的平方数个数）。

代码：

for (ll i = l; ; ++ i) {
  if (sqrt(i) - int(sqrt(i)) == 0) {
     A = sqrt(i);
     break;
   }
}
for (ll i = r; ; -- i) {
  if (sqrt(i) - int(sqrt(i)) == 0) {
     B = sqrt(i);
     break;
   }
}
if (!A && !B) {
  cout << r - l + 1 << '\n';
} else {
  cout << r - l + 1 - (B - A + 1) << '\n';
}

设离 $l$ 最近的比 $l$ 大的平方数是 $A$， 离 $r$ 最近的比 $r$ 小的平方数是 $B$，这种算法的时间复杂度是 $O(A - l + r - B)$。如果 $A$ 离 $l$ 太远或 $B$ 离 $r$ 太远就会 TLE。

Part 3 二分

我们可以发现，平方数满足单调性（$1, 4, 9, 16, 25, 36, \cdots$），所以可以二分。

$\sqrt{10^9} ≈ 31622$，我们可以构造一个 $0 \sim 31622$ 的平方数数组（$a_i = i^2$）。因此，我们可以二分在数组里找答案。找一个 $L$ 使得 $L^2 \ge l$，再找一个 $R$ 使得 $R^2 > r$，答案就是 $r - l + 1 - \max(0,\ R - L)$（跟上个算法的思想差不多，读者可自证）。

代码：

const int kMaxN = sqrt(1e9);
for (int i = 1; i <= kMaxN; ++ i) {
  a[i] = i * i;
}
int L = 0, R = sqrt(1e9);
L = lower_bound(a, a + kMaxN, sqrt(l)) - a;
R = upper_bound(a, a + kMaxN, sqrt(r)) - a;
cout << r - l + 1 - max(0, R - L) << '\n';

这种算法的时间复杂度是 $O(\log 10^9)$，还不够优秀。

Part 4 数学

令 $A = \lfloor\sqrt{l}\rfloor \le \sqrt{l}$，$B = \lfloor\sqrt{r}\rfloor \le \sqrt{r}$。那么 $[l, r]$ 之间的平方数为 $(A + 1)^2, (A + 2)^2, \cdots, (B - 1)^2, B^2$。如果 $A^2 = l$，则答案为 $(r - l + 1) - (B - A + 1)$，否则答案为 $(r - l + 1) - (B - A)$。（跟 Part $2, 3$ 的思想差不多，读者可自证）

代码：

int A = sqrt(l), B = sqrt(r);
cout << (A * A == l? r - l + 1 - B - A + 1 : r - l + 1 - B - A) << '\n';

时间复杂度 $O(1)$，极为优秀。