【笔记】线代第二章——线性空间
线性空间
向量空间
定义:
设$v$为$n$维向量的集合,如果集合$v$非空,且集合$v$对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合$v$为向量空间
向量组的秩
线性组合与线性表示
向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m $线性表示的充分必要条件是:
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_mx_m=\beta$有解
线性相关及线性无关
性质
- 包含零向量的任何向量组线性相关;
- 有两个向量相等的向量组线性相关;
- 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关;
- 两个向量对应分量成比例,线性相关
- 基本向量组或单位坐标向量组线性无关
定理
- $n$维向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$线性相关,若$n=m$则$|A|=0$
- $n$维向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$线性无关,若$n=m$则$|A|\neq0$
- 部分相关则整体相关
- 整体无关则部分无关
- n维向量组线性无关,把每个向量的维数增加后,得到的新向量组仍线性无关
- n维向量组线性相关,把每个向量的维数增加后,得到的新向量组仍线性相关
- 向量组 $A(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$线性无关,而向量组$B(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta)$线性相关,则向量$\beta$必能由向量组$A$线性表示且表示式唯一
- $m>n$时,$m$个$n$维向量必线性相关.
- 阶梯形向量必然线性无关
极大无关组
- 只含零向量的向量组没有极大无关组.
- 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
- 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示
- 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的,但包含相同个数的向量
- 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
向量组的秩
定义
向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
性质
- 零向量组的秩为0
- 设向量组$A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$的秩为$r$,则:
$r<m$时,该向量组线性相关
$r=m$时,该向量组线性无关 - 如向量组$A(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$可由向量组$B(\beta_1,\cdots,\beta_t)$线性表示,则$R(A)≤R(B)$
- 矩阵的行秩=矩阵的列秩
注意:
两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩,并且其中一个可以被另一个
线性表示,则这两个向量组等价。
基与维数
- 只含有零向量的向量空间没有基,规定其维数为$0$
- 如果把向量空间看作向量组,可知, V的基就是向量组的极大无关组, V的维数就是向量组的秩
- 向量空间的基不唯一
基的变换
$x_1,x_2,\cdots,x_n$与$y_1,y_2,\cdots,y_n$是$n$维线性空间$V$的两组不同基。
则由基的定义(极大线性无关组),有
$$
\begin{cases}
y_1=p_{11}x_1+p_{21}x_2+\cdots+p_{n1}x_n \\
y_2=p_{12}x_1+p_{22}x_2+\cdots+p_{n2}x_n \\
\cdots\cdots \\
y_n=p_{1n}x_1+p_{2n}x_2+\cdots+p_{nn}x_n
\end{cases}
$$
记作:$(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
其中$P=(p_{ij})_{n\times n}$
称$P$是由基$x_1,x_2,…,x_n$到基$y_1,y_2,\cdots,y_n$的过渡矩阵
坐标变换公式
$$X=PY \Rightarrow Y=P^{-1}X$$
本作品采用知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可.
发布者: bbqub
转载请注明出处: https://bbqub.cnblogs.com/