【笔记】一元函数微分学

导数

可导性判定

1. $f(x)$在$x_0$可导的充分条件为：$f(x)$在$x_0$左右可导并有 $f'_-(x)=f'_+(x)$
2. 可导一定连续，连续不一定可导

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链式法则求导

设$y=f(x)$,则$f'(t)=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}$

常用于复杂的复合函数求导

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$eg.1求(a^x)'$
$a^x=e\rightarrow 令u=xlna \Rightarrow$
$$
\frac{{\rm d}a^x}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}e^u}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}=e^ulna=axlna
$$

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$eg.2设y=sin\sqrt{x^2+x+1},求y'$
$设u=x^2+x+1,v=\sqrt{u}，由链式法则\Rightarrow $
$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}v}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}=cosv\frac{1}{2\sqrt{u}}(2x+1)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2+x+1}}cos\sqrt{x}2+x+1}$$

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对数求导

$y=f(x)\rightarrow lny=lnf(x)\rightarrow (lny)'=(lnf(x))'\Rightarrow$
$y'\frac{1}{y}=(lnf(x))'\Rightarrow y'=y(lnf(x))'$

$eg.3设y=\sqrt[3]{\frac{x^{2(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+3)}2}},求y'$
$\begin{aligned}
y' & =y(ln\frac{x^{2(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+3)}2})' \\
& = y(\frac{2}{3}lnx+\frac{1}{3}ln(x-1)+\frac{1}{3}ln(x+2)-\frac{1}{3}ln(x+1)-\frac{2}{3}ln(x+3))' \\
& = \sqrt[3]{\frac{x^{2(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+3)}2}}(\frac{2}{3(x^2+1)}+\frac{2}{x(x+3)}+\frac{1}{3(x+2)}) \\
\end{aligned}
$

对数求导用于函数中同时包含幂函数、乘法、除法的复杂复合函数

反函数求导

$由链式法则可得：\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\frac{{\rm d}x}{{\rm d}y}}$
$eg.4设x=arcsiny,求x'$
$x=arcsiny\rightarrow y=sinx\Rightarrow $
$$
\frac{{\rm d}x}{{\rm d}y} = \frac{1}{\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}} = \frac{1}{\frac{{\rm d}sinx}{{\rm d}x}} = \frac{1}{cosx} = \frac{1}{\sqrt{1-sin^{2x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y}2}}
$$

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幂指函数求导

先将底化为常数，再对指数进行求导

$eg.5设y=x^x求y'$
$y'=(e^{{xlnx})'=(xlnx)'e}=(lnx+1)x^x$

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高阶导数

$(sinx)^{(n)}=sin(\frac{n\pi}{2}+x)$
$(cosx)^{(n)}=cos(\frac{n\pi}{2}+x)$
$ln(1+x)^{{(n)}=\frac{(-1)}(n-1)!}{(1+x)^n}$
$sin(ax+b)^{(n)}=ansin(ax+b+\frac{n\pi}{2})$
$(e^{ax+b})=a^ne$
$[u(x)v(x)]^{{(n)}=\sum_{k=0}}C_{n}^{k}uv^{(n-k)}$

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