关于流体力学的三大基本方程

合集 - 流体力学(1)

1.关于流体力学的三大基本方程2023-06-13

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1|0质量守恒方程

• 描述：控制体的质量变化率=流入控制体的质量变化率-流出控制体的质量变化率
• 方程：$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\rho \overrightarrow{V}\right)=0.$$或者另一种形式：$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial x}=0$$

2|0动量守恒方程（N-S方程）

• 描述：（牛顿第二定律）流体的动量变化率=流体所受合外力
• 方程：局部加速度+对流项=压力梯度+扩散项(以x方向为例)

$$（\frac{\partial u}{\partial t}）+（u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}）=（-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}）+（\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\nu \frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}）$$

其中ν是运动黏度=动力粘度/密度

• 当无黏时，扩散项为0，这就是欧拉方程

3|0能量守恒方程

• 描述：流体机械能变化率=流体吸热量变化率+流体对外做功变化率
• 方程：局部加速度项+对流项=扩散项+压力偏导+耗散函数φ（x方向）

$$(\frac{\partial T}{\partial x})+(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}+w\frac{\partial T}{\partial w})=(\frac{k}{\rho c_p}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2})+(\frac{\partial p}{\partial x})+\varphi$$

其中压力偏导和耗散函数（作用于流体上变形功产生的能量源）经常可以忽略，k是热传导系数。

4|0雷诺数和普朗特数

$$Re=\frac{\mathrm{惯}\mathrm{性}\mathrm{力}}{\mathrm{摩}\mathrm{擦}\mathrm{力}}=\frac{\rho ud}{\mu }$$

$$Pr=\frac{\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{动}\mathrm{量}\mathrm{扩}\mathrm{散}\mathrm{率}}{\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{热}\mathrm{扩}\mathrm{散}\mathrm{率}}=\frac{\nu }{\alpha }=\frac{\mu c_p}{k}$$

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本文作者：宋培荣
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