关于流体力学的三大基本方程
质量守恒方程
- 描述：控制体的质量变化率=流入控制体的质量变化率-流出控制体的质量变化率
- 方程：$${\frac{\partial\rho}{\partial t}}+\nabla\cdot\left(\rho \vec{V}\right)=0.$$或者另一种形式：$${\frac{\partial\rho}{\partial t}}+{\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}}+{\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}}+{\frac{\partial(\rho w)}{\partial x}}=0$$
动量守恒方程（N-S方程）
- 描述：（牛顿第二定律）流体的动量变化率=流体所受合外力
- 方程：局部加速度+对流项=压力梯度+扩散项(以x方向为例)
\[（\frac{\partial u}{\partial t}）+（u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}）=（-{\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial p}{\partial x}）+（{\nu}\ {\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\nu}{\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\nu}{\frac{\partial^{2}w}{\partial z^{2}}}}）
\]
其中ν是运动黏度=动力粘度/密度
- 当无黏时，扩散项为0，这就是欧拉方程
能量守恒方程
- 描述：流体机械能变化率=流体吸热量变化率+流体对外做功变化率
- 方程：局部加速度项+对流项=扩散项+压力偏导+耗散函数φ（x方向）
\[(\frac{\partial T}{\partial x})+(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}+w\frac{\partial T}{\partial w})=(\frac{k}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{k}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial z^2})+(\frac{\partial p}{\partial x})+\phi
\]
其中压力偏导和耗散函数（作用于流体上变形功产生的能量源）经常可以忽略，k是热传导系数。
雷诺数和普朗特数
\[Re=\frac{惯性力}{摩擦力}=\frac{\rho u d}{\mu}
\]
\[Pr=\frac{分子动量扩散率}{分子热扩散率}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k}
\]
