多路查找树
一、二叉树与B树
1，二叉树的问题分析
二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿)， 就存在如下问题:
- 问题 1：在构建二叉树时，需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响
- 问题 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度。
2，多叉树
- 在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）
- 2-3 树，2-3-4 树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。
3，B树的基本介绍
B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。
- 如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度.
- 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页的大小通常为 4k)，这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
- 将树的度 M 设置为 1024(每个节点的子节点的个数就称为该节点的度（degree）)，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。
二、2-3树
1，2-3树的特点：
- 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
- 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
- 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
- 2-3 树是由二节点和三节点构成的树。
2，2-3树应用案例：
将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3树的过程)
插入规则：
1) 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件) 2) 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点. 3) 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点 4) 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层， 拆后仍然需要满足上面 3 个条件。 5) 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则
3，2-3-4树
三、B树、B+树和B*树
1，B树的介绍
B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced，平衡的意思。
说明:
- B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4
- B树的搜索：从根结点开始，对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
- 关键字集合分布在整棵树中，即叶子结点和非叶子节点都存放数据
- 搜索有可能在非叶子结点结束
- 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找
2，B+树的介绍
B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树。
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
说明：
- B+树的搜索与B树基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B树可以在非叶子结点命中)，其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
- 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(即数据只能在叶子结点【也叫稠密索引】)，且链表中的关键字(数据)恰好是有序的
- B+树非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引)，叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层；B树的非叶子结点也存储数据(数据信息)，这样导致每次加载io的数据量减小
- 更适合文件索引系统
- B数和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然。
3，B*树的介绍
B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟结点也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针； 所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；
说明：
- B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的快的最低使用率为1/2
- B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高
