7/21日课堂总结

知识点

唯一分解定理

唯一分解定理：任何一个大于1的整数，可以唯一拆分为若干个质因子的乘积。

质因子：本身就是质数的因子。

for(int i = 2; i * i <= n; i++)
    if( !(n % i))
    {
        sum += i;
        if(i*i!=n)
            sum+=n/i;
    }

\[h=p1 ^ k1 * p2^k2 * p3^k3*p4^k4*...pm^km \]

p[i]代表不同的质因子

唯一分解定理引理：一个整数x最多存在一个大于√x的质因子。

for(long long i = 2; i * i <= x; i++)//从最小的质因子开始（ll不要乱开，会影响时间）
    while(!(x % i))
        cout << i << ' ',x /= i;//说明i是一个质因子
if(x != 1)
    cout << x << ' ';//还剩下空格

数学公式

\[d | n==n\%d \]

d|n：代表n能被d整除。

n%d：判断一个数字n是否能被d整除。

n和d都能够进行唯一分触：

1. n分解的质因子种类包含，d分解所有的质因子种类。

2. d包含的所有质因子的出现次数，小于等于n对应的质因子的出现次数

   \[(a^b)^c==a^(bc)==(p1^(k1)...pm^(km))==p1(nc)...pn^((km)^2) \]

习题

B3715 分解质因子 2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 2;
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define le length()
typedef long long ll; 
void solve()
{
	ll n;
	cin>>n;
	if(n<=1)
		return ;
	for(ll i=2;i*i<=n;i++)
		while(n%i==0)
		{
			cout<<i<<' ';
			n/=i;
		}
	if(n!=1)
	{
		cout<<n<<'\n';
		return ;
	}
	cout<<'\n';
	return ;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
		solve();
    return 0;
}

B2138 最大质因子序列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 2;
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define le length()
typedef long long ll;
int f(int x)
{
	int maxx=-1;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		while(!(x%i))
			maxx=max(maxx,i),x/=i;
	if(x!=1)
		maxx=max(maxx,x);
	return maxx;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	fo(i,n,m-1)
		cout<<f(i)<<',';
	cout<<f(m);
    return 0;
}

P10495 阶乘分解 ||P2043 质因子分解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 2;
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define le length()
typedef int ll;
map<ll,ll>	q;
void solve(ll n)
{
	for(ll i=2;i*i<=n;i++)
		while(n%i==0)
			n/=i,q[i]++;
	if(n!=1)
		q[n]++;
	return ;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		solve(i);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(q[i])
			cout<<i<<' '<<q[i]<<'\n';
    return 0;
}