Codeforces 798C：Mike and gcd problem

Codeforces 798C：Mike and gcd problem

题目链接：http://codeforces.com/contest/798/problem/C

题目大意：给出一个大小为$n$的数列，每次操作可以使得$a_i=a_i-a_{i+1}$，$a_{i+1}=a_i+a_{i+1}$，问最少多少次操作可以使得$gcd\{a_i\}>1$.

dp

考虑$gcd(x,y)=1$的情况：若有$d \neq 1$，$d|x-y$且$d|x+y$，则有$d|2x$且$d|2y$，故$d=2$，也就是说$gcd(x-y,x+y)=1$或$2$.

故若对于初始数列$gcd\{a_i\}=1$，那么多次操作后得到$gcd\{a_i\}=2$.

于是问题就转化为了，将数列中所有元素变成偶数所需要的最少操作数.

可以用dp解决（好像用贪心也是可以的）.

定义状态：

• $dp[i][1]$为前$i-1$个数均为偶数，第$i$个数为奇数的最少操作数；
• $dp[i][0]$为前$i-1$个数均为偶数，第$i$个数为偶数的最少操作数.

则有四种情况：

1. 第$i$个数为偶数，第$i+1$个数为偶数时，将第$i+1$个数变成偶数不需要进行操作，而无法使第$i+1$个数变成奇数；
2. 第$i$个数为偶数，第$i+1$个数为奇数时，将第$i+1$个数变成偶数需要进行$2$次操作，将第$i+1$个数变成奇数不需要进行操作；
3. 第$i$个数为奇数，第$i+1$个数为偶数时，将第$i+1$个数变成偶数需要进行$2$次操作，而无法使第$i+1$个数变成奇数；
4. 第$i$个数为奇数，第$i+1$个数为奇数时，将第$i+1$个数变成偶数需要进行$1$次操作，而无法使第$i+1$个数变成奇数；

复杂度为$O（nlg(Max\{a_i\})）$.

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
int inf=10000000;
int n,a[N],ans,dp[N][2];
bool p[N];
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(void){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        p[i]=a[i]%2;
    }
    ans=a[0];
    for(int i=0;i<n;++i)ans=gcd(ans,a[i]);
    if(ans==1){
        dp[0][!p[0]]=inf;
        for(int i=1;i<n;++i){
            if(p[i]){
                dp[i][0]=min(dp[i-1][0]+2,dp[i-1][1]+1);
                dp[i][1]=min(dp[i-1][0],inf);
            }else{
                dp[i][0]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+2);
                dp[i][1]=min(inf,inf);
            }
        }
        if(dp[n-1][0]!=inf)printf("YES\n%d",dp[n-1][0]);
        else printf("NO");
    }else printf("YES\n0");
}