Codeforces 559C：Gerald and Giant Chess/51nod 1486：大大走格子

Codeforces 559C：Gerald and Giant Chess

题目链接：Codeforces http://codeforces.com/problemset/problem/559/C

               51nod http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1486

题目大意：有一个$h \times w$的棋盘，里面有一些格子是不能走的，只能每次向右边或者下面移动，现在要求从左上角走到右下角的方案数。

组合数+容斥原理

将不能走的格子的坐标按横坐标为第一关键字、纵坐标为第二关键字升序排序（按纵坐标为第一关键字、横坐标为第二关键字升序排序也可），用$dp[i]$维护从左上角移动到当前不能走的格子的方案数，根据组合数的性质及容斥原理可以得到：$dp[i]=C_{p[i].x}^{p[i].x+p[i].y}-\sum_{k=0}^{i-1}(dp[k] \times C_{p[i].x-p[k].x}^{p[i].x+p[i].y-p[k].x-p[k].y})$.

故从左上角走到右下角的方案数$ans=C_{h}^{h+w}-\sum_{i=0}^n(dp[i] \times C_{h-p[i].x}^{h+w-p[i].x-p[i].y})$.

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 200005
#define M 2005
using namespace std;
typedef long long ll;
struct P{
    int x,y;
    friend bool operator < (P a,P b){
        if(a.x==b.x)return a.y<b.y;
        return a.x<b.x;
    }
}p[M];
ll dp[M],fac[N],inv[N],ans,m=1000000007;
int h,w,n;
ll Minus(ll a, ll b){return (a-b+m)%m;}
ll Mul(ll a, ll b){return (a*b)%m;}
ll pow_mod(ll a, ll n){
    ll r=1;
    while(n){
        if(n&1)r=Mul(r,a);
        a=Mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return r;
}
ll Inv(ll a){return pow_mod(a,m-2);}
void init(){
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=200000;++i){
        fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
        inv[i]=Inv(fac[i]);
    }
}
ll C(ll x,ll y){return Mul(Mul(fac[x],inv[x-y]),inv[y]);}
int main(void){
    init();
    scanf("%d%d%d",&h,&w,&n);
    h--;w--;
    for(int i=0;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
        p[i].x--;p[i].y--;
    }
    sort(p,p+n);
    ans=C(h+w,h);
    for(int i=0;i<n;++i){
        dp[i]=C(p[i].x+p[i].y,p[i].x);
        for(int j=0;j<i;++j)
            if(p[i].x>=p[j].x&&p[i].y>=p[j].y)
                dp[i]=Minus(dp[i],Mul(dp[j],C(p[i].x+p[i].y-p[j].x-p[j].y,p[i].x-p[j].x)));
        ans=Minus(ans,Mul(dp[i],C(h+w-p[i].x-p[i].y,h-p[i].x)));
    }
    printf("%lld\n",ans);
}