51nod 1040：最大公约数之和

51nod 1040：最大公约数之和

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/submitDetail.html#!judgeId=222540

题目大意：求$\sum_{i=1}^n gcd(i,n)$.

数论 欧拉函数

求$gcd(i,n)=d$的$i$的个数，即求$gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1$的个数，即求$\varphi(\frac{n}{d})$.

由$\varphi(x)=n \prod (1-\frac{1}{p_i})$，可以在$O(\sqrt{n})$内求得$\varphi(n)$:

 1 ll varphi(ll x){
 2     ll ans=1;
 3     for(ll i=2;i*i<=x;++i)if(x%i==0){
 4         x/=i;ans*=(i-1);
 5         while(x%i==0){
 6             x/=i;
 7             ans*=i;
 8         }
 9     }
10     if(x>1)ans*=(x-1);
11     return ans;
12 }
varphi(n)

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 ll n,ans,d;
 5 ll varphi(ll x){
 6     ll ans=1;
 7     for(ll i=2;i*i<=x;++i)if(x%i==0){
 8         x/=i;ans*=(i-1);
 9         while(x%i==0){
10             x/=i;
11             ans*=i;
12         }
13     }
14     if(x>1)ans*=(x-1);
15     return ans;
16 }
17 int main(void){
18     scanf("%lld",&n);
19     for(d=1;d*d<n;++d)if(n%d==0){
20         ans+=varphi(n/d)*d;
21         ans+=varphi(d)*n/d;
22     }if(d*d==n)ans+=varphi(d)*d;
23     printf("%lld",ans);
24 }

 想到用容斥定理的解法，不怎么会计算复杂度，不知是否会T，待更...

posted @ 2017-04-04 14:45  barriery  阅读(212)  评论(0)  编辑  收藏  举报