Codeforces 771C：Bear and Tree Jumps

Codeforces 771C：Bear and Tree Jumps

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/771/C

题目大意：给出一个$n(2 \leqslant n \leqslant 200,000)$个结点的无根树及整数$k(1 \leqslant k \leqslant 5)$，求$\sum f(s,t),(s<t)$，其中$f(s,t)=\lceil \frac{dis(s,t)}{k} \rceil$.

树形DP

设$dis(u,v)$为$u$到$v$的简单路径长度，则$f(u,v)=\lceil \frac{dis(u,v)}{k} \rceil=\frac{dis(u,v)+L(u,v)}{k}$，于是问题就转化为求$\sum dis(u,v)$和$\sum L(u,v)$.

$\sum dis(u,v)$可以很容易求得：任取一结点为根，每条边的贡献为$num[x] \times (n-num[x])$，其中$x$为该边的子结点，$num[x]$为$x$的子树的结点个数.

关键在于求$\sum L(u,v)$.定义$dp[i][j]$为从$i$的子树出发到达$i$结点，简单路径长度模$k$为$j$的个数.设$u$为$v$的父节点，根据$dp[u][i]$和$dp[v][j]$，可以求得包含$u$，$v$结点的路径长模为$(i+j+1)\%k$的路径数为$dp[u][i] \times dp[v][j]$条，从而可以求出相应的$\sum L(x,y)$.转移方程为$dp[u][(i+1)\%k]=dp[u][(i+1)\%k]+dp[v][i]$.

于是$ans=\sum \frac{dis(u,v)+L(u,v)}{k}$，复杂度为$O(nk^2)$

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#define N 200005
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,k;
ll ans,dp[N][6],sum[N];
vector<int>e[N];
ll dfs(int u,int pre){
    dp[u][0]=sum[u]=1;
    for(int t=0;t<(int)e[u].size();++t){
        int v=e[u][t];
        if(v!=pre){
            sum[u]+=dfs(v,u);
            for(int i=0;i<k;++i)
            for(int j=0;j<k;++j){
                ll need=(k-(i+j+1)%k)%k;//when k-(i+j+1)%k==kor0 it need not add;
                ans+=need*dp[u][i]*dp[v][j];
            }
            for(int i=0;i<k;++i)
                dp[u][(i+1)%k]+=dp[v][i];
        }
    }
    ans+=sum[u]*(n-sum[u]);
    return sum[u];
}
int main(void){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<n;++i){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,-1);
    cout<<ans/k;
}