关于Euclid算法

Euclid算法大概是我最早接触的东西了吧，下面是学长传授的代码：

int GCD(int a,int b){
    return b==0?a:GCD(b,a%b);   
}

短小精悍。当时也没理解为什么这段代码可以求出$a$和$b$的最大公因数。现补下证明。

$a$和$b$的最大公因数记为$gcd(a,b)$，简写为$(a,b)$.

证明Euclid算法的正确性，即证明$(a,b)=(a,b-ka)$.

设$x=(a,b)$，$y=(a,b-ka)$，

$\because x=(a,b)$，

$\therefore x|a$，$x|b$，

$\therefore x|(-ka+b)$，

$\therefore x|(a,b-ka)=y$，

故$x \leqslant y$.

$\because y=(a,b-ka)$，

$\therefore y|a$，$y|(b-ka)$，

$\therefore y|[ka+(b-ka)]=b$，

$\therefore y|(a,b)$，即$y|x$，

故$y \leqslant x$.

$\therefore x=y$.

即$(a,b)=(a,b-ka)$.证毕.

当$k=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$时，即为Euclid算法.

 

上述Euclid算法仅求出$(a,b)$，而不能得到$(a,b)$关于$a$和$b$的线性表示，故有了拓展的Euclid算法：

int EXGCD(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int d=EXGCD(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;y=t-a/b*y;
    return d;
}

上述算法可求得$x$和$y$，使满足$(a,b)=ax+by$.

为便于证明，以非递归版本为例：

int EXGCD(int a,int b,int &x,int &y){
    int x0=1,x1=0,x2=a;
    int y0=0,y1=1,y2=b;
    while(y2!=0){
        int q=x2/y2;
        int t0=x0,t1=x1,t2=x2;
        x0=y0;x1=y1;x2=y2;
        y0=t0-q*y0;y1=t1-q*y1;y2=t2-q*y2;
    }
    x=x0;y=x1;
    return x2;
}

若$ax_0+bx_1=x_2$，$ay_0+by_1=y_2$，

不难得到$a(x_0-qy_0)+b(x_1-qy_1)=x_2-qy_2$.

上述等式正式保证了拓展Euclid算法的正确性。

 

拓展Euclid算法可用来求模线性方程$ax+by=(a,b)$的解。

特别地，当$(a,b)=1$时，$x$即为$a$在$b$下的乘法逆元。

 

求$1$到$n$的数在$p$下的乘法逆元可以做到$O(n)$的复杂度：

令$inv_i$为$i$在$p$下的逆元，则有$inv_x \equiv [(p- \lfloor \frac{p}{x} \rfloor ) \times inv_{p\%x}](mod p)$.

证明：设$p=kx+r$，其中$0 \leqslant r < x$，

那么原式等于$inv_x \equiv [(p-k) \times inv_r](mod p)$

$\Leftarrow r \equiv [(p-k) \times x](mod p)$

$\Leftarrow r \equiv -kx(mod p)$

即$kx+r \equiv p \equiv 0(mod p)$，证毕.

故我们可以递推得到各个逆元。