Codeforces 396B：On Sum of Fractions

Codeforces 396B：On Sum of Fractions

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/396/B

题目大意：共$t$组数据，每组给出一个数$n$，求$sum_{i=2}^n{\frac{1}{v(i) \times u(i)}}$。其中$v(i)$为不大于$i$的最大质数，$u(i)$为大于$i$的最小质数。

数学

设$p_k$为第$k$个质数，数列$a_i=\frac{1}{v(i) \times u(i)}$，

可以发现当$p_k \leqslant i \leqslant p_{k+1}$时，$a_i$的值均相同;

将这些相同的项合并，形成一个新的数列$b_i=\frac{p_{i+1}-p_i}{p_i \times p_{i+1}}$.

若我们快速求得$S_n=sum_{i=1}^nb_i$，那么题目所要求的的值也就可以快速得到.

打表得到$S_n$的前几项：

$S_1=\frac{1}{2 \times 3},S_2=\frac{3}{2 \times 5},S_3=\frac{5}{2 \times 7},S_4=\frac{9}{2 \times 11},S_5=\frac{11}{2 \times 13}$

猜想$S_i=\frac{p_{i+1}-2}{2 \times p_{i+1}}$.

设$S_k=\frac{p_{k+1}-2}{2 \times p_{k+1}}$，则

$$
\begin{align}
S_{k+1}
&=S_k+b_{k+1}\\
&=\frac{p_{k+1}-2}{2 \times p_{k+1}}+\frac{p_{k+2} - p_{k+1}}{p_{k+1} \times p_{k+2}}\\
&=\frac{p_{k+2} \times (p_{k+1}-2)+2 \times (p_{k+2}-p_{k+1})}{2 \times p_{k+1} \times p_{k+2}}\\
&=\frac{p_{k+1} \times (p_{k+2}-2)}{2 \times p_{k+1} \times p_{k+2}}\\
&=\frac{p_{k+2}-2}{2 \times p_{k+2}}\\
\end{align}
$$

故猜想正确.（亦可以从$b_i=\frac{p_{i+1}-p_i}{p_i \times p_{i+1}}=\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_{i+1}}$得到）

而题目所要求的$sum_{i=2}^n\frac{1}{v(i) \times u(i)}$，即为$S_k-\frac{u-1-n}{v(i) \times u(i)}$，其中$u$为第$k$个质数。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll T,n,v,u;
bool prime(ll n){
    for(ll i=2;i*i<=n;++i)
        if(n%i==0)return 0;
    return 1;
}
ll gcd(ll a,ll b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
struct fraction{
    ll p,q;
    fraction(ll _p=1,ll _q=1){
        p=_p;q=_q;
    }
    friend fraction operator - (fraction a,fraction b){
        fraction c;
        ll tmp=gcd(a.q,b.q);
        c.p=b.q/tmp*a.p-a.q/tmp*b.p;
        c.q=a.q/tmp*b.q;
        tmp=gcd(c.p,c.q);
        c.p/=tmp;c.q/=tmp;
        return c;
    }
}a,b;
int main(void){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        v=n;u=n+1;
        while(!prime(v))v--;
        while(!prime(u))u++;
        a=fraction(u-2,2*u);
        b=fraction(u-1-n,v*u);
        a=a-b;
        cout<<a.p<<"/"<<a.q<<endl;
    }
}