Distinguish center and focus for plane differential system

• Distinguish center and focus for plane differential system

• 背景

对于一个平面光滑微分系统

\[\begin{equation} \dot{x}=f(x,y),~~~ \dot{y}=g(x,y). \end{equation} \]

假设 \((0,0)\) 是它的一个孤立平衡点. 考虑该系统在平衡点 \((0,0)\) 处的线性变分方程

\[\begin{equation} \dot{x}=\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}x+\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}y,~~~ \dot{y}=\frac{\partial g(0,0)}{\partial x}x+\frac{\partial g(0,0)}{\partial y}y. \end{equation} \]

根据我们在稳定流形讲解中所介绍过的, 如果系数矩阵

\[\begin{pmatrix} \frac{\partial f(0,0)}{\partial x} & \frac{\partial f(0,0)}{\partial y} \\ \frac{\partial g(0,0)}{\partial x} & \frac{\partial g(0,0)}{\partial y} \\ \end{pmatrix} \]

的两个特征值都有非零的实部, 那么系统 (1) 是双曲的. 此时, 利用Hartman线性化定理, 系统 (1) 和系统 (2) 有相同类型的平衡点类型(鞍点, 结点, 焦点).

但除了上述情况, 有两种情况不是双曲的: (1) 线性系统的系数矩阵有一对共轭复根; (2) 线性系统的系数矩阵有至少一个零特征值. 

 对于情况 (1), 我们将利用下面的两种方法判断非线性系统(1)的平衡点类型.

 对于情况 (2), 在一些特殊情形下, 仍有一些方法可以判断非线性系统的平衡点类型, 如 Blow-up, 正常区域等. 

• 后继函数法

上述情形 (1) 的任何一个系统可以通过一个非退化线性变换化为

\[\begin{equation} \dot{x}=-bx+X(x,y),~~~ \dot{y}=bx+Y(x,y), \end{equation} \]

其中 \(b>0\) 是实数. 对于系统 (3), 线性系统的平衡点 \((0,0)\) 是中心, 如果 (3) 右端的向量场是解析的, 那么非线性系统的平衡点 \((0,0)\) 有两种可能: 中心或焦点.

这里我们介绍如何利用后继函数去区分这两种情况.

利用极坐标变换

\[\begin{equation} x=r \cos\theta,~~y=r\sin\theta, \end{equation} \]

(3) 被变为

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\dot{r}=X\cos\theta+Y\sin\theta=r R(r,\theta),\\ &\dot{\theta}=b+\frac{1}{r}(Y\cos\theta-X\sin\theta)=b+Q(r,\theta), \end{aligned} \end{equation} \]

其中 \(R,Q\) 是 \(r\) 的幂级数, 最低次幂不小于\(1\), 系数是 \(\sin\theta,\cos\theta\) 的多项式.

存在 \(r_1\) 充分小, 使得任何 \(r\in [0,r_1)\), \(b+Q\ge b/2\). 由 (5) 知系统 (3) 等价于

\[\frac{dr}{d\theta}=\frac{rR}{b+Q}, \]

右端在 \(0 \le r < r_1, -\infty<\theta<+\infty\) 解析, 于是可以展开为

\[\begin{equation} \frac{dr}{d\theta}=R_2(\theta)r^2+R_3(\theta)r^3+\cdots \end{equation} \]

其中 \(R_i(\theta)\) 是 \(\sin\theta,\cos\theta\) 的多项式.

以 \(x\) 轴正半轴为Poincare 截面 \(\sum\), 在此截面上任取一点 \((\rho,0)\), 因为原点是线性系统的中心, 所以, 当 \(\rho>0\)充分小时, 对线性系统, 从\((\rho,0)\)出发的轨道为闭轨, 再根据解关于向量场连续依赖性, 非线性系统的从 \((\rho,0)\) 转过一周后一定会回到\((\rho,0)\)附近一个点, 记为\(P(\rho,0)\).

[把这个映射 \(P:\sum\to \sum, (\rho,0)\longmapsto (p(\rho),0)\) 其中\((p(\rho),0)\)是以\((\rho,0)\)为初值的解转一周后得到的点, 称为Poincare映射, 并把这个函数 \(\pi(\rho)=p(\rho)-\rho\)称为后继函数. 显然, 如果任意的 \(\rho\in (0,r_1)\), \(\pi(\rho)=0\), 那么平衡点 \((0,0)\) 是非线性系统的中心; 如果任意的 \(\rho\in (0,r_1)\), \(\pi(\rho)>0\), 那么平衡点 \((0,0)\) 是非线性系统的不稳定焦点; 如果任意的 \(\rho\in (0,r_1)\), \(\pi(\rho)<0\), 那么平衡点 \((0,0)\) 是非线性系统的稳定焦点.]

令

\[\begin{equation} r(\rho,\theta)=r_1(\theta)\rho+r_2(\theta)\rho^2+\cdots \end{equation} \]

(因为 \(r(0,\theta)=0\), 所以上述展开式中\(\rho\)的零次幂对应的项为\(0\)).

注意到: \((0,0)\) 是非线性系统的中心当且仅当么 \(r_i(\theta),\forall i,\) 是\(\theta\) 的\(2\pi\) 周期函数(对充分小弟\(\rho\)).

微分 (7) 关于 \(\theta\), 得到

\[\begin{equation} \frac{dr}{d\theta}=\rho\frac{d r_1(\theta)}{d\theta} +\rho^2\frac{d r_2(\theta)}{d\theta} +\cdots. \end{equation} \]

现在把 (7) (8) 带入到 (6) 中,

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\rho\frac{d r_1(\theta)}{d\theta} +\rho^2\frac{d r_2(\theta)}{d\theta} +\cdots\\ &=R_2(\theta)(r_1(\theta)\rho+r_2(\theta)\rho^2+\cdots)^2+R_3(\theta)(r_1(\theta)\rho+r_2(\theta)\rho^2+\cdots)^3+\cdots \end{aligned} \end{equation} \]

对于两边的\(\rho\)的同次幂得到

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{d r_1(\theta)}{d\theta}=0,\\ & \frac{d r_2(\theta)}{d\theta}=r_1(\theta)R_2(\theta),\\ & \frac{d r_3(\theta)}{d\theta}=2R_2(\theta)r_1(\theta)r_2(\theta)+R_3(\theta)r_1^3(\theta),\\ &\cdots ~\cdots \end{aligned} \end{equation} \]

利用\(r(\rho,0)=\rho\), 得到初值

\[r_1(0)=1,~ r_i(0)=0, i\ge 2. \]

可以解出
\(r_1(\theta)=1\), 导入(10)的第二式中

\[ \frac{d r_2(\theta)}{d\theta}=R_2(\theta),\\ \]

上述方程存在 \(2\pi\)-周期解当且仅当\(\int_0^{2\pi} R_2(\theta)d\theta=0\). 如果这个条件成立, 解出\(r_2\), 把\(r_1,r_2\)带入(10)的第三式中, 再检验\(dr_3/d\theta\)的右端函数是否在\([0,2\pi]\)上平均值为0. 如此继续下去, 如果所有的\(dr_i/d\theta,\forall i\) 的右端函数在 \([0,2\pi]\) 上平均值为0, 那么原点是非线性系统的中心. 否则, 存在\(n\)使得\(dr_{n}/d\theta=K(\theta)\)的右端函数\(K(\theta)\)在 \([0,2\pi]\) 上均值\(g_n=\int_0^{2\pi } K d \theta \ne 0\). 如果\(g_n>0\) 那么原点是非线性系统的不稳定焦点;
如果\(g_n<0\) 那么原点是非线性系统的稳定焦点;
可以证明这个\(n\)一定是基数,可以令\(n=2m+1\), 这个\(m\)称为焦点的阶数或焦点量. 这个焦点称为\(m\)阶细焦点.

注意到：如果原点真的是非线性系统的中心, 那么这个方法是无法证明的, 因为要无限计算下去, 这是不可能实现的. 但如果是焦点, 原则上可以在有限步计算后得到证明, 但是在实际操作中, 也会很带来很大就计算量.

有一个很有用的结论：如果向量场关于\(x\)轴或\(y\)轴对称, 那么原点一定是中心. 原因在于焦点是渐近稳定的或不稳定的, 总之焦点的情况下, 时间正向或负向一定会趋于原点, 从而从原点附件的点出发的轨道不会是闭轨. 然而, 在向量场关于其中一个坐标轴对称的情况下, 每条轨道一定是闭轨.

• Lyapunov 直接法判断平衡点稳定性

•   关于Lyapunov稳定性相关的基本概念这里不再赘述.
  

•   在给出形式级数法之前, 我们首先介绍一种用于判断平衡点稳定性的方法——Lyapunov直接法.
  

  考虑一般的 \(n\) 维自治系统

  \[\begin{equation} \dot{x}=f(x). \end{equation} \]

  其中\(x\in \mathbb{R}^n\), \(f(0)=0\)且\(f(x)\)在区域\(G=\{x\in \mathbb{R}^n:||x||\le M\}\) 内连续可微. 假设原点是系统 (12) 的平衡点.

设\(V(x)\)为定义在闭区域\(\{x\in \mathbb{R}^n:||x||\le M_1\}\)上的连续函数, 满足 \(V(0)\), 其中\(0<M_1\le M\). 若恒有\(V(x)\ge 0\),则称\(V\)为常正的. 若对一切\(x\ne 0\), 都有\(V(x)>0\), 则称函数\(V\)是定正的. 若\(-V\)是常正的, 则称\(V\)的常负的. 若\(-V\)是定正的, 则称\(V\)的定负的.

• Lyapunov 直接法

• 定理的表述

  (1) 若存在定正函数\(V(x)\), 使得沿着 (11) 的解 \(\frac{dV(x(t))}{dt}\) 是常负的, 那么平衡点0是稳定的;

  (2) 若存在定正函数\(V(x)\), 使得沿着 (11) 的解 \(\frac{dV(x(t))}{dt}\) 是定负的, 那么平衡点0是渐近稳定的;

  (3) 若存在定正函数\(V(x)\), 使得沿着 (11) 的解 \(\frac{dV(x(t))}{dt}\) 是定正的, 那么平衡点0是不稳定的;

  (4) 若存在定正函数\(V(x)\), 使得在远点的任意充分小的邻域内都有点\(x_1\)使得\(V(x_1)>0\)且沿着 (11) 的解

  \[\begin{equation} \frac{dV(x(t))}{dt}=\mu V(x(t))+W(x(t)), \end{equation} \]

  其中\(\mu\)是常数, 且\(\mu=0\)时, \(W\)是定正的; \(\mu>0\)时, \(W\) 是常正的, 那么平衡点0是不稳定的;

• 定理的证明

• 结论 (1) 的证明

任意给定 \(\varepsilon>0\), 由于\(\{x\in \mathbb{R}^n:||x||=\varepsilon\}\)是紧集, 连续映射在紧集上上下确界可达, 于是\(\alpha:=\min\{V(x):||x||=\varepsilon\}>0\). 因\(V(0)=0\), 利用 \(V\) 的连续性, 存在 \(0<\delta<\varepsilon\), 使得 \(\max\{V(x):||x||\le \delta\}<\varepsilon/2\). 再由

\[ \frac{dV(x(t))}{dt}\le 0 \]

得到: 对任何\(x(t_0)\)满足\(||x(t_0)||<\delta\)时,

\[0\le V(x(t))\le V(x(t_0))<\varepsilon/2. \]

由介值性\(||x(t)||<\varepsilon\), 从而0解是稳定的.

• 结论 (2) 的证明

对任何解\(x(t)\), \(x(t_0)=x_0\), 因为

\[\frac{dV(x(t))}{dt}<0, \]

所有\(V(x(t))\)关于\(t\)单调递减. 根据\(V\ge 0\), 于是
\(V(x(t))\to C, ~t\to +\infty\). 如果\(C=0\), 那么结论被证明.

如果\(C>0\), 那么\(x(t)\) 始终落在区域\(\{x\in \mathbb{R}^n:C\le ||x||\le V(x_0)\}\), 这是个紧集, 于是

\[\frac{dV(x(t))}{dt}\le \alpha<0, \]

这意味着

\[0\le V(x(t))\le V(x_0)-\alpha(t-t_0), \forall t, \]

这显然不可能.

• 结论 (3) 的证明

考虑以\(0\)为圆心, 半径为\(1\)的邻域\(B_1\). 任给\(0<\delta<1\),因为 如果\(x(t)\ne 0\), 那么

\[\frac{dV(x(t))}{dt}>0. \]

同上, \(\{x:\delta \le ||x||\le 1\}\)的紧性蕴含存在\(\alpha>0\)使得

\[\frac{dV(x(t))}{dt}\ge \alpha>0. \]

因此任何解\(x(t), x(t_0)=x_0\),

\[V(x(t))>V(x_0)+\alpha(t-t_0). \]

显然这意味着一定存在\(t_1\)使得\(x(t_1)\notin B_1\), 故0解不稳定.

• 结论 (4) 的证明

同上有\(B_1\). 任何 \(0<\delta<1\). 由题设, 存在\(x_0: 0<||x_0||<\delta\) 使得 \(V(x_0)>0\). 对(12)利用常数变异公式积分得到

\[\begin{equation} V(x(t))=e^{\mu(t-t_0)}[V(x_0)+\int_{t_0}^{t}W(x(s))e^{-\mu(s-t_0)}dt]. \end{equation} \]

如果\(\mu=0\), 那么 \(W\) 定正, 于是

\[\frac{dV(x(t))}{dt}\ge0. \]

在\(\{x:||x_0||\le ||x||\le 1\}\)上, \(W(x)\ge \alpha>0\). 于是, 任何\(t\ge t_0\),

\[V(x(t))\ge V(x_0)+\alpha(t-t_0), \]

显然\(x(t)\)不可能永远留在\(\{x:||x||\le 1\}\)内, 0解不稳定.

如果 \(\mu>0\), 那么

\[\frac{dV(x(t))}{dt}\ge \mu V(x_0)>0, \]

进而

\[V(x(t))\ge V(x_0)+\mu V(x_0)(t-t_0) \]

这意味着 \(x(t)\) 不可能永远留在\(\{x:||x||\le 1\}\)内(否则, V有界\(\forall t\)), 0解不稳定. 证毕.

• 形式级数法

考虑系统解析向量场

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\dot{x}=-y+\sum_{k=2}^{\infty}P_2(x,y),\\ &\dot{y}=x+\sum_{k=2}^{\infty}Q_2(x,y), \end{aligned} \end{equation} \]

其中 \(P_k,Q_k\) 是 \(x,y\) 的 \(k\) 次齐次多项式.

考虑

\[\begin{equation} F(x,y)=x^2+y^2+\sum_{k=2}^{\infty}F_k(x,y), \end{equation} \]

其中 \(F_k\) 是 \(x,y\) 的 \(k\) 次齐次多项式. 计算

\[\begin{equation} \begin{aligned} &~~~~~~\frac{dF(x(t))}{dt}\\ &=\left(2x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\partial F_k}{\partial x}\right)\left(-y+\sum_{k=2}^{\infty}P_2\right)+\left(2y+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\partial F_k}{\partial y}\right)\left(x+\sum_{k=2}^{\infty}Q_2\right)\\ &=\left(\left[x\frac{\partial F_3}{\partial y}-y\frac{\partial F_3}{\partial x}\right]_3+\left[2xP_2+2yQ_2 \right]\right)_3+\\ &=\left(\left[x\frac{\partial F_4}{\partial y}-y\frac{\partial F_4}{\partial x}\right]_4+\left[2xP_3+2yQ_3 +P_2\frac{\partial F_3}{\partial x}+Q_2\frac{\partial F_3}{\partial y}\right]\right)_4+\cdots\\ &+\left(\left[x\frac{\partial F_{n}}{\partial y}-y\frac{\partial F_n}{\partial x}\right]_n\right.\\& \left.+ \left[(2xP_{n-1}+2yQ_{n-1}) +\left(P_2\frac{\partial F_{n-1}}{\partial x}+Q_2\frac{\partial F_{n-1}}{\partial y}\right)\right]+\left(P_{n-2}\frac{\partial F_3}{\partial x}+Q_{n-2}\frac{\partial F_3}{\partial y}\right)\right)_n\\ &+\cdots \end{aligned} \end{equation} \]

其中\(( \cdot )_i\) 是 \(i\) 次齐次多项式. 将 \((\cdot)_n\) 的第一个 \([\cdot]_n\) 之外的其他项之和记为 \(H_n\). 注意到: \(H_n\) 由\(P_i,Q_i,F_i (i<n-1)\) 所确定. 计算这些项 \([\cdot]_n\): 做极坐标变换

\[x=r\cos \theta,y=r\sin\theta. \]

那么

\[\begin{equation} \begin{aligned} &~~~~\left[x\frac{\partial F_{n}}{\partial y}-y\frac{\partial F_n}{\partial x}\right]_n\\ &=r\cos \theta\frac{\partial F_{n}(r\cos \theta,r\sin\theta)}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial F_n(r\cos \theta,r\sin\theta)}{\partial x}\\ &=\frac{\partial F_n(r\cos\theta,r\sin\theta)}{\partial \theta}\\ &=r^n\frac{\partial F_n(\cos\theta,\sin\theta)}{\partial \theta}. \end{aligned} \end{equation} \]

注意到, \(\frac{\partial F_n(\cos\theta,\sin\theta)}{\partial \theta}\) 是关 \(\theta\) 的 \(2\pi\)-周期函数, \(H_n(r\cos\theta,r\sin\theta)=r^nH_n(\cos\theta,\sin\theta)\), 并且沿着 (14) 的解 (15) 的 \(F_n=0\) 当且仅当

\[\frac{\partial F_n(\cos\theta,\sin\theta)}{\partial \theta}=-H_n(\cos\theta,\sin\theta), \]

满足这样的关于\(\theta\)以\(2\pi\)为周期的函数\(F_n\)存在当且仅当\(\int_{0}^{2\pi}H_n(\cos\theta,\sin\theta)d\theta=0\)(这可以同在\([0,2\pi]\)上积分上式两端看到).

如果存在 \(n\ge 3\), \(\int_{0}^{2\pi}H_n(\cos\theta,\sin\theta)d\theta\ne 0\) 但 \(\int_{0}^{2\pi}H_k(\cos\theta,\sin\theta)d\theta=0,k<n\), 那么\(n\)为偶数, 因为

\[\begin{equation} \begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi}\sin^m\theta\cos^k\theta d\theta=0,~~m+k={\rm odd}(\Rightarrow m\ne k),\\ &\int_{0}^{2\pi}\cos^m\theta\cos^k\theta d\theta=0,~~m+k={\rm odd}(\Rightarrow m\ne k),\\ &\int_{0}^{2\pi}\sin^m\theta\sin^k\theta d\theta=0,~~m+k={\rm odd}(\Rightarrow m\ne k). \end{aligned} \end{equation} \]

令\(n=2m\), 存在 \(\Phi\):

\[\Phi(x,y)=x^2+y^2+F_2(x,y)+\cdots+F_{2m}(x,y) \]

它沿着 (14) 的解的导数为

\[\frac{d \Phi(x(t),y(t))}{dt}=(\text{$x(t)$和$y(t)$的$2m$次齐次多项式})+o(||(x(t),y(t))||^{2m}). \]

下面我们证明: ( \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 的 \(2m\) 次齐次多项式) 可以取成形式 \(C_{2m}(x(t)^2+y(t)^2)^m\).

进而, \(C_{2m}>0(<0)\) 蕴含原点是不稳定(稳定)焦点.

如果 \(\int_{0}^{2\pi}H_n(\cos\theta)d\theta=0,\forall n\ge 3\), 那么原点是中心.

• 为什么 这里的 \(2m\) 次齐次多项式可以取形式 \(C_{2m}(x^2+y^2)^m\)

    这里需要一段较长的推导才能看出这个优美的结果！但是我们还是严格地论证一番: 
  

  如果

  \[F(x,y)=x^2+y^2+\sum_{k=3}^{\infty}F_k \]

  能使沿着(14)的解,

  \[\frac{dF(x(t),y(t))}{dt}=0. \]

  令

  \[\begin{equation} \begin{aligned} & F_n(x,y)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^iy^{n-i},\\ & -H_n(x,y)=\sum_{i=0}^{n}b_i x^iy^{n-i}, \end{aligned} \end{equation} \]

  当然利用递归法时, 因为\(H_n\)只会与\(F_1,\cdots,F_{n-1}\) 有关, 因此假定 \(b_i\) 是已知的量.

  由上面的讨论

\[\begin{equation} x\frac{\partial F_{n}}{\partial y}-y\frac{\partial F_n}{\partial x}=-H_n(x,y), \end{equation} \]

现在把(19)代入(20)中得到: 约定 \(a_0=a_{n+1}=0\),

\[\begin{equation} (k+1)a_{k+1}-(n-k+1)a_{k-1}=b_k,~~k=0,1,2,\cdots,n. \end{equation}\tag{21} \]

上述是一个关于\(a_0,\cdots,a_n\)的线性方程组, 其系数行列式为等于

\[\begin{equation} \Delta=\left\{ \begin{aligned} &0,~~~~&&{\rm if} ~~~n=2k;\\ &n[(2k+1)!!],~~~~&&{\rm if} ~~~n=2k+1. \end{aligned} \right. \end{equation} \]

当\(n\)为奇数时, (21)总有解.

当\(n\)为偶数时, (21)是两个独立的方程组:

\[\begin{equation} 2ka_{2k}-2(m-k+1)a_{2(k-1)}=b_{2k-1},~~k=1,2,\cdots,m, \end{equation} \]

和

\[\begin{equation} (2k+1)a_{2k+1}-(2m-2k+1)a_{(2k-1)}=b_{2k},~~k=0,1,2,\cdots,m, \end{equation} \]

(22)的有m个方程,m+1个未知量, 因此总有解. (23)的有m+1个方程,m个未知量, 系数矩阵的秩为\(m\), 因此有解当且仅当增广矩阵的行列式为0, 而增广矩阵的行列式为

\[\sum_{k=0}^{m}(2m-2k+1)!!)(2k-1)!! b_{2k}. \]

当上式不为0时, (23)无解. 此时, 可求满足如下条件的\(F_{2m}\):

\[x\frac{\partial F_{2m}}{\partial y}-y\frac{\partial F_{2m}}{\partial x}+\lambda(x^2+y^2)^m=-H_{2m}, \]

其中\(\lambda\)作为新的未知量添加到\(a_1,\cdots,a_{2m-1}\)中. 由(20)仍可以两个独立的方程组, 其中之一仍为(22), 另外一个则是

\[\begin{equation} (2k+1)a_{2k+1}-(2m-2k+1)a_{2k-1}+C_m^k \lambda=b_{2k},~~k=0,1,\cdots,m. \end{equation} \]

其系数行列式为\((2m)!!\). (24)有唯一解,而

\[\lambda=\frac{1}{(2m)!!}\sum_{k=0}^{m}(2m-2k-1)!!(2k-1)!!b_{2k}. \]

显然, 如(24)有解, 则\(\lambda=0\). 若(24)无解, 则\(\lambda\ne 0\). 此时

\[\frac{d(x^2+y^2+F_4+\cdots+F_{2m})}{dt}=\lambda r^{2m}+o(r^{2m}), \]

其中\(r=x^2+y^2\).