The Stable Manifold Theorem on Maps

• The Stable Manifold Theorem on Maps

  • 在动力系统中, 主要有两种类型的研究对象: 其一是以映射迭代为主要研究对象的离散动力系统, 其二是以微分方程为主要研究对象的连续动力系统. 在动力系统的研究中, 人们企图通过寻找不变流形来对研究的系统进行降维以达到简化研究的目的. 在以微分方程为主要研究对象的微分动力系统的研究中, 两个特殊的不变流形得到人们的广泛研究和关注: 稳定流形和中心流形. 本次我们就映射的稳定流形定理给出完整的表述和证明, 之后作者将给出中心流形定理.

  • 下面的内容源于张筑生老师的《微分动力系统原理》第十章的内容, 作者在学习的过程中对细节的理解增加了许多新的理解与体会, 通过阅读下面的内容会让读者对稳定流形定理以及它的证明有深刻的理解与认识.

• 什么是双曲线性映射

设 \((E,||\cdot||)\) 是Banach 空间, \(A: E\to E\) 是可逆线性映射, 如果 \(E\) 可以分解为关于 \(A\) 的不变闭线性子空间 \(E^s\) 和 \(E^u\) 的直和:

\[E=E^s\oplus E^u,~~AE^u=E^u,~~AE^s=E^s, \]

并且存在常数 \(C_1,C_2>0\) 和 \(0<\lambda<1\), 使得

\[||A^k x_u||\ge C_1 \lambda^{-k} ||x_u||, ~~\forall ~x_u\in E^u, k=1,2,3,\cdots \]

\[||A^k x_s||\le C_2 \lambda^{k} ||x_s||, ~~\forall ~x_s\in E^s, k=1,2,3,\cdots \]

那么我们称 \(A\) 为双曲线性映射. 上述的 \(E^s\) 和 \(E^u\) 分别称为 \(A\) 的稳定子空间(或收缩子空间)和不稳定子空间(或扩张子空间).

为了后面方便讨论, 在 \((E,||\cdot||)\) 中, 将 \(x=x_s+x_u\) 等同于 \((x_s,x_u)\), 并引入等价范数

\[||x||=\max\{||x_s||,||x_u||\}. \]

• 上述分解是非常重要的, 有了这样的分解以后, 我们便可以通过投影在每个子空间上利用压缩映像原理，当然在\(E^u\) 上需要考虑 \(A|_{E^u}^{-1}\).

以下总是假设\(0\)是\(f\)的孤立不动点.

注 1：通常我们说映射 \(f\in C^1\)的不动点 \(0\) 是双曲不动点是指其导算子 \(Df(0)\) 是双曲线性映射, 但通常不能说\(Df(0)\)的特征值的实部不为0就称0是双曲平衡点, 因为如果\(f\)是有限维空间中的映射时, 上述的\(\lambda\)可以视为\(Df(0)\)的特征值到虚轴的最小距离, 这是因为对于有限维情况, 只要每一个特征值的实部不为0, 那么所有特征值与虚轴之间一定有一个一致的 "带宽" or "间隙(gap)", 但是对于无穷维的情况这种带宽不一定存在.

注 2：假设 \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) 是 \(C^1\) 映射, \(0\) 是 \(f\) 的孤立不动点. 那么 \(0\) 是 \(f\) 是双曲不动点 当且仅当 \(Df(0)\) 的所有特征值的实部全非0 (此时 \(Df(0)\) 为 \(f\) 在 \(0\) 处的Jacobi矩阵 \(\frac{\partial f(0)}{\partial x}\) ) .

假设 (\(E\), \(||\cdot||\))是一个Banach空间，\(f\in C^1(U,E)\), \(0\) 是 \(f\) 的一个双曲不动点, 那么 \(f\) 可以写成 \(f(x)=Df(0)x+\varphi(x)\) 的形式, 其中 \(Df(0):U\to E\) 是一个双曲线性映射, \(\varphi(0)=0\) 且 \(D\varphi(0)=0\).

• 什么是稳定流形

设 (\(E\), \(||\cdot||\)) 是一个Banach空间，\(f\in C^0(U,E)\), 其中 \(U\) 是 \(0\) 的一个邻域, \(0\) 是 \(f\) 的一个孤立不动点, 有界集 \(X \subset E\) 是 \(f\) 的一个正不变集, 即 \(f(X)\subset X\), 并且

\[\lim_{n\to\infty}f^n(x)=0, ~~\forall x\in X, \]

我们称这样的 \(X\) 是 \(f\) 的一个局部稳定集. 此时, \(Y=\cup_{n\ge 0}f^{-n}(X)\) 称为 \(f\) 的稳定集, 显然 \(Y\) 是正不变集. 如果 \(X\) 是一个(拓扑)流形, 那么就称 \(X\)是 \(f\) 的不动点 \(0\) 的一个局部稳定流形, 通常记为 \(W^s_{X}(0,f)\). 如果 \(Y\) 是一个(拓扑)流形, 那么就称 \(Y\) 是 \(f\) 的稳定流形, 通常记为 \(W^s(0,f)\). 换言之, 稳定流形就是具有流形结构的稳定集合.

为了更一般地讨论, 我们考虑更广泛的具有形式 \(f=A+\varphi\) 映射\(f\), 其中 \(A\) 是一个双曲线性映射并且具有斜度 \(\tau\in (0,1)\), 即 \(||A|_{E^s}||\le \tau\) 且 \(||A|_{E^u}^{-1}||\le \tau\), \(\varphi\) 是Lipschitz映射且 \({\rm Lip}(\varphi)<\varepsilon<\min\{1-\tau,\frac{1}{2}(\tau^{-1} -1)\}.\) [这里注意: 即使 \(\varphi\in C^1\), 这里也并未要求\(D\varphi(0)=0\), 因此对于\(f=A+\varphi\in C^1\), 可以有 \(\varphi\ne f-Df(0)\). 正是如此所得到的稳定流形\(\{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 在 \(0\) 处的切空间 \(\{(x_s,Dg(0)(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 并不与 \(A\) 的稳定(收缩)子空间 \(E^s(b)\) 重合. 如果要求 \(f\in C^1\)且 \(\varphi=f-Df(0)\), 那么可以证明得到的稳定流形在 \(0\) 处的切空间就是 \(Df(0)\) 的 稳定子空间. 换言之, 后者得到的稳定流形在 \(0\) 处与 \(Df(0)\) 的稳定子空间是相切的. ]

• 直观的理解

正如上面指出的, 我们针对连续映射来讨论它们的稳定流形. 直观上, 一个映射 \(f\) 在某个不动点\(x_0\) 的稳定流形 (\(W^s(x_0,f)\)) 就是使得在 \(f\) 的正向迭代下趋于 \(x_0\) 的哪些点的集合, 当然不稳定流形就是在 \(f^{-1}\) 迭代下趋于 \(x_0\) 的哪些点的集合.

• 稳定流形定理的内容

设 \(f=A+\varphi:E(b):=\{x\in E|~||x||\le b\}\to E\) 是一映射, 其中 \(A\) 是斜度为 \(\tau\) 的双曲线性映射, \(\varphi:E(b)\to E\) 满足

\[\begin{equation} {\rm Lip}(\varphi)<\varepsilon< \min\{1-\tau,\frac{1}{2}(\tau^{-1}-1)\},~~\varphi(0)=0. \end{equation} \]

则存在Lipschitz映射

\[\begin{equation} g:E^s(b)\to E^u(b), ~~{\rm Lip}(g)\le 1, \end{equation} \]

使得\(g\)的图像恰好为\(f\)的局部稳定流形, 即

\[\begin{equation} \mathcal{G}(g)=\{(x_s,g(x_s)|x_s\in E^s(b)\}=W^s_{E(b)}(0,f). \end{equation} \]

如果 \(f\) (因而\(\varphi=f-A\)) 在 \(E(b)\)上还是 \(C^r\) 的, 那么 \(g\) 在 \(E^s(b)\) 上也是 \(C^r\) 的.

注意到\(E(b)\)的限定使得这个定理只能称作为局部稳定流形定理,因为它并没有包含稳定流形上的所有点.

这个定理的证明是非常经典的, 当然也是有一定难度的, 其中的思想非常精彩. 

• 稳定流形定理的证明

首先, 如果 \(x=(x_s,x_u)\) 是\(f\)的双曲不动点\(0\)的局部稳定流形\(W_{E(b)}^s(0,f)\)上的点, 那么必然会有

\[f^k(x_s,x_u)=(A+\varphi)^k\in E(b),~~k=1,2,\cdots \]

\[\lim_{k\to\infty} f^k(x_s,x_u)=\lim_{k\to\infty} (A+\varphi)^k(x_s,x_u)=0. \]

下面的每一步都是非常美妙的！

对于 \(E\) 的任何一个子集 \(S\), 记 \(\mathscr{S}(S)\) 是 \(S\) 中的点列 \(r=\{r(k)\}_{k\ge 0}\) 的集合.
如果 \(S=E\), 我们可以在 \(\mathscr{S}(E)\) 中引入(逐项进行计算的)加法和数乘, 同时引入范数

\[||r||=\sup_{k}||r(k)||, \]

那么 \(\mathscr{S}(E)\) 是一个Banach空间. 进而, 对于 \(E\) 的闭子集 \(E(b)\), \(\mathscr{S}(E(b))\) 是一个完备子集, 即其中的Cauchy列收敛, 但它显然不是线性空间(对数乘运算不封闭).

在 \(\mathscr{S}(E(b))\) 中我们找满足

\[\begin{equation} r(k+1)=(A+\varphi)r(k),~k=0,1,2 \end{equation} \]

和

\[\lim_{k\to\infty}r(k)=0 \]

的序列的集合, 并把这样的点列的集合记为 \(\mathscr{S}_0(E(b))\). 这个集合中的点才是对我们有用的点, 因为这样的一个点列恰好对应于一条在 \(f\) 迭代下趋于 0 的轨道. 正如上面我们说过的，稳定流形就是正向迭代下趋于0的点的集合. 把 \(\mathscr{S}_0(E(b))\) 中点列的初值取出来就构成稳定流形上的点.

把上面的(4)分别向 \(E^s\) 和 \(E^u\) 上投影, 得到

\[\begin{equation} r_s(k+1)=A_s r_s(k)+\varphi_s(r(k)), \end{equation} \]

\[\begin{equation} r_u(k+1)=A_u r_u(k)+\varphi_u(r(k)),\\ \end{equation} \]

为了下面利用压缩性, 将上式改写:

\[\begin{equation} r_s(k)=A_s r_s(k-1)+\varphi_s(r(k-1)), \end{equation} \]

\[\begin{equation} r_u(k)=A_u^{-1}[ r_u(k+1)-\varphi_u(r(k))]. \end{equation} \]

 下面是最关键的一步：

任意的 \(x_s\in E^s(b)\) 和任意的 \(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\), 定义新的序列：[视 \(x_s\) 为参数]

\[\begin{equation} \mathcal{T}_s(x_s,r)(k)=\left\{ \begin{aligned} &x_s, &&k=0 \\ &A_s r_s(k-1)+\varphi_s(r(k-1)), &&k\ge 1 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

\[\begin{equation} \mathcal{T}_u(x_s,r)(k)=A_u^{-1}[ r_u(k+1)-\varphi_u(r(k))], ~~k=0,1,2,\cdots \end{equation} \]

[注意：当 \(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\) 给定后, 上述两式右端是确定的, 因而 \(\mathcal{T}_s,\mathcal{T}_u\) 的定义合理. 此外, 确实有 \(\mathcal{T}_s(x_s,r)(k),\mathcal{T}_u(x_s,r)(k)\to 0,k\to 0\). 注意上面的定义中\(r(0)\)也被换掉了用\((x_s,x_u)\), 这里 \(x_u=A_u^{-1}[ r_u(1)-\varphi_u(r(0))]\).]

对每一个固定的 \(x_s\), 对每个 \(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\), 构造新的 \(r^\prime\), 用这种方式 : \(r^\prime(0)=(x_s,x_u)\), \(r^\prime(k)=r(k),k\ge 1\), 其中 \(x_u:=A_u^{-1}[ r_u(1)-\varphi_u(r(0))]\). 这样, 对于每个 \(r\) 我们就构造了一个新的 \(r^\prime\), 如果刚好有一个 \(r\in \mathscr{S}_0(E(b))\), 使得 \(r(0)=(x_s,x_u)=r^\prime(0)\), 那么 就有 \(r^\prime=r\). 我们下面就是要证明给定一个 \(x_s\) 后, 这样的 \(r\) 是存在且唯一的, 于是把这个 \(r\) 记作 \(\eta(x_s)=\{\eta(x_s)(k)\}_k\ge 0\), 然后显然 \(\eta(x_s)(0)\) 在稳定集中, 把 \(\eta(x_s)(0)\) 写为 \(\eta(x_s)(0)=(\eta_s(x_s)(0),\eta_u(x_s)(0))=(x_s,\eta_u(x_s)(0))\), 那么就可以定义 \(g(x_s)=\eta_u(x_s)(0)\) 因为 \(\eta(x_s)\) 的唯一性保证了 \(\eta_u(x_s)(0)\) 的唯一性. 这就是整个证明了思路.

• [这里有一个非常重要的知识点, 也是对于稳定流形的证明最难理解的地方: 上面算子的构造中, 我们作了这样一个动作, 就在把 \(\mathscr{S}_0(E(B))\) 中的每个序列 \(r\) 视为一个映射 \(r: \mathbb{N}_0\to E(b)\), 对于不同的序列, 我们在它们的前面追加一个相同的项后, 它们仍然是不同的序列. 但是人们常常会误想: 不就是同一个映射 \(f=A+\varphi\) 以不同从初值跑出来的轨道吗? 这话没任何问题, 但这里巧就巧在他把不同的序列看成是离散空间中的不同作用，这是最妙的地方，它与这种认识“不就是同一个映射 \(f=A+\varphi\) 以不同从初值跑出来的轨道”并没任何矛盾，关键就在当把离散空间中一个序列看成一个映射时，它由所有在 \(\mathbb{N}_0\) 上的像唯一确定, 因此把同一个映射 \(f=A+\varphi\) 在不同初值下跑出来的轨道放在离散空间中视为完全不同的映射 . 当人们有了这种认识以后，整个证明看起来很容易理解了. ]

现在估计

\[||\mathcal{T}_s(x_s,r)-\mathcal{T}_s(x_s,r^{\prime})||\le (\tau+\varepsilon)||r-r^{\prime}||,\\ ||\mathcal{T}_u(x_s,r)-\mathcal{T}_u(x_s,r^{\prime})||\le \tau(1+\varepsilon)||r-r^{\prime}||. \]

进而,

\[||\mathcal{T}(x_s,r)-\mathcal{T}(x_s,r^{\prime})||=\\ \max\{||\mathcal{T}_s(x_s,r)-\mathcal{T}_s(x_s,r^{\prime})||,||\mathcal{T}_u(x_s,r)-\mathcal{T}_u(x_s,r^{\prime})||\} \]

\[\le (\tau+\epsilon)||r-r^{\prime}||, \]

\(\mathcal{T}\) 关于第二变元一致压缩. 因此有唯一的不动点, 即存在唯一的 \(\eta(x_s)\subset \mathscr{S}_0(E(b))\) 使得

\[\begin{equation} \mathcal{T}(x_s,\eta(x_s))(k)=\eta(x_s)(k)=(\eta_s(x_s)(k),\eta_u(x_s)(k)). \end{equation} \]

注意到 \(\mathcal{T}(x_s,\eta(x_s))(k)=(\mathcal{T}_s(x_s,\eta(x_s))(k),\mathcal{T}_u(x_s,\eta(x_s))(k))\).
综上两式并注意到 \(\mathcal{T}_s(x_s,\eta(x_s))(0)=x_s\) 得到 \((\eta_s(x_s)(0),\eta_u(x_s)(0))=(x_s,\eta_u(x_s)(0))\). 这样得到的 \(\eta_u(x_s)(0)\) 具有唯一性, 因此可以定义

\[g(x_s)=\eta_u(x_s)(0)=\pi_u\circ \rho\circ \eta(x_s) \]

其中 \(\rho\) 是取第0项, \(\pi_u\) 是到 \(E^u\) 的投影, 两者都是有界线性映射, 因此是 \(C^\infty\) 的.

根据构造显然有 \((x_s,g(x_s))=\eta(x_s)(0)\).
换言之, 我们在原来的这个族 \(\{(x_s,r)\}_{r\in \mathscr{S}_0(E(b))}\) 中找到了一个与 \(x_s\) 相匹配的 \(r=\eta(x_s)\) 使得

\[\eta(x_s)(0)=(x_s,g(x_s)). \]

上面得到的流形 \(\{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 满足

\[\{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\subset W^s_{E(b)}(0,f). \]

下面证明

\[W^s_{E(b)}(0,f)\subset \{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}. \]

首先注意到, 任意的 \(x=(x_s,x_u)\in W^s_{E(b)}(0,f)\), 必然有

\[\begin{equation} f^k(x)\in E(b),~~k=0,1,2,3,\cdots \end{equation} \]

若 \(x=(x_s,x_u)\) 和 \(x^\prime=(x_s^\prime,x_u^\prime)\) 满足 (13) 并且 \(x_s=x_s^\prime\), 我们将证明 \(x_u=x_u^\prime\).

反设 \(||x_u-x_u^\prime||>0\), 那么

\[||f_u(x)-f_u(x^\prime)||=||A_n(x-x^\prime)||-||\varphi_u(x-x^\prime)||\ge (\tau^{-1}-\varepsilon)||x-x^\prime||,\]

\[||f_s(x)-f_s(x^\prime)||\le ||A_s (x-x^\prime)||+||\varphi_s(x-x^\prime)||\le (\tau+\varepsilon)||x-x^\prime||. \]

因 \(\varepsilon<\min\{1-\tau,\frac{1}{2}(\tau^\prime-1)\}\), 于是, \(\tau^\prime-\varepsilon>1+\varepsilon>\tau+\varepsilon\). 因此,

\[||f_u(x)-f_u(x^\prime)||>||f_s(x)-f_s(x^\prime)||,\\ ||f(x)-f(x^\prime)||=||f_u(x)-f_u(x^\prime)||\ge (\tau^{-1}-\varepsilon)||x-x^\prime||. \]

进而,

\[2b\ge ||f^k(x)-f^k(x^\prime)||\ge (\tau^{-1}-\varepsilon)^k||x-x^\prime||\to \infty, k\to \infty, \]

这个矛盾表明了 \(x_s=x_s^\prime\) 蕴含 \(x_u=x_u^\prime\), 即

\[W^s_{E(b)}(0,f)\subset \{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}, \]

且\({\rm Lip}(g)\le 1\).

最后我们证明稳定流形的光滑性: 即如果 \(\varphi:E(b)\to E\) 是 \(C^r\) 的, 那么 \(g\in C^r\). 显然, 由 (11) 式下面 \(g\) 的分解, 这当且仅当 \(\eta\) 是 \(C^r\) 的.

证明它需要一个引理 : 

• 隐函数关于原函数的光滑依赖性

  下面的引理虽然在内容和证明上都不复杂, 但是意义是非凡的, 它的用处非常广泛.

• 引理的表述

设 \((X,||\cdot ||)\) 和 \((Y,|\cdot|)\) 是两个 Banach 空间, \(E\subset X\) 和 \(F\subset Y\) 分别为对应空间中的开子集, \(G\subset F\) 是 \(Y\) 中的闭子集. 对于 \(C^r\) 映射 \(\Phi:E\times F\to Y\) 满足

\[\Phi(E\times G)\subset G. \]

如果 \(\Phi\) 关于第二变元一致压缩具有压缩系数 \(\delta\), 那么由

\[\Phi(x,v(x))=v(x),~~x\in E \]

唯一确定的函数 \(v:E\to G\) 也是 \(C^r\)的.

• 引理的证明

第一步: 我们先来看看 \(C^0\) 的情况找找感觉

\[|v(x)-v(y)|=|\Phi(x,v(x))-\Phi(y,v(y))| \]

\[\le |\Phi(x,v(x))-\Phi(y,v(x))|+|\Phi(y,v(x))-\Phi(y,v(y))|\]

\[\le |\Phi(x,v(x))-\Phi(y,v(x))|+|\Phi(y,v(x))-\Phi(y,v(y))|\]

\[\le |\Phi(x,v(x))-\Phi(y,v(x))|+\delta |v(x)-v(y)|, \]

这导出了

\[\begin{equation} |v(x)-v(y)|\le \frac{1}{1-\delta}|\Phi(x,v(x))-\Phi(y,v(x))|. \end{equation} \]

显然, \(\Phi\in C^0\Rightarrow v\in C^0\).

第二步: 我们再来看看 \(C^1\) 的情况继续找找感觉

为了证明 \(v\in C^1\), 根据Banach空间中Frechet导出的定义, 那么我们应该找一个有界线性映射记为 \(Dv(x)\) 使得

\[|v(x+\xi)-v(x)-Dv(x)\xi|=o(|\xi|),~\xi\to 0. \]

对 \(\Phi(x,v(x))=v(x)\) 两边微分得到

\[[id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]Dv(x)=D_1\Phi(x,v(x)). \]

注意到 \(D_2 \Phi(x,v(x))\) 是有界线性映射并 \(Lip(D_2 \Phi(x,v(x)))\le \delta<1\), 于是 \([id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]\) 具有有界的逆. 直观上, 我们要找到 \(Dv(x)\) 就应该等于 \([id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]^{-1}D_1\Phi(x,v(x))\), 这是一个有界的线性映射是没问题的, 下面我们要证明:

\[|v(x+\xi)-v(x)-[id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]^{-1}D_1\Phi(x,v(x))\xi|=o(|\xi|),~\xi\to 0. \]

计算

\[v(x+\xi)-v(x)-[id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]^{-1}D_1\Phi(x,v(x))\xi \]

\[=[id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]^{-1}[(id_2-D_2 \Phi(x,v(x)))(v(x+\xi)-v(x))-D_1\Phi(x,v(x))\xi] \]

前面一项 \([id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]^{-1}\)是有界的, 我们不需要管它, 我们估计后面的:

\[|(id_2-D_2 \Phi(x,v(x)))(v(x+\xi)-v(x))-D_1\Phi(x,v(x))\xi| \]

\[=|v(x+\xi)-v(x)-D_2 \Phi(x,v(x))(v(x+\xi)-D_1\Phi(x,v(x))\xi| \]

\[=|\Phi(x+\xi,v(x+\xi))-\Phi(x,v(x))-D_2 \Phi(x,v(x))(v(x+\xi)-D_1\Phi(x,v(x))\xi| \]

\[=o(|\xi|)+o(|v(x+\xi)-v(x)|). \]

由(14):

\[ |v(x)-v(y)|\le \frac{1}{1-\delta}|\Phi(x,v(x))-\Phi(y,v(x))|= \frac{1}{1-\delta}|D_1(x,v(x))|\cdot|x-y|, \]

可见, \(v\) 是Lipschitz 映射, 于是 \(o(|v(x+\xi)-v(x)|)\le o(L|\xi|)=o(|\xi|)\).
因此, \(v\in C^1\) 且

\[Dv(x)=[id_2-D_2 \Phi(x,v(x))]^{-1}D_1\Phi(x,v(x)). \]

第三步: 我们利用数学归纳法来完成这个引理的最后证明部分

假设这个引理对于 \(r-1\) 是正确的, 我们下面证明它对于 \(r\) 也是正确的.

设\(\Phi\in C^r\), 考虑 \(\Phi(x,v(x))=v(x)\) 两边微分后的表达式

\[D_1\Phi(x,v(x))+D_2\Phi(x,v(x))Dv(x)=Dv(x). \]

下面是关键的一般:

令

\[\Psi(x,u(x))=D_1\Phi(x,v(x))+D_2\Phi(x,v(x))u(x) \]

\(\Phi\)关于第二变元一致压缩导出\(Dv(x)\)是唯一一个满足

\[\Psi(x,u(x))=D_1\Phi(x,v(x))+D_2\Phi(x,v(x))Dv(x)=Dv(x) \]

的函数.
\(\Phi\in C^r\Rightarrow \Psi\in C^{r-1}\).

利用假设引理对于\(r-1\)是正确的, 得到 \(Dv(x)\in C^{r-1}\), 进而 \(v\in C^r\). 这样我们就完成了这个引理的证明. \(\blacksquare\)

利用上面的引理, 因为 \(\eta\) 是 \(\mathcal{T}\) 的唯一不动点, 且 \(\mathcal{T}\in C^r\), 于是 \(\eta\in C^r\).

至此, 完成了稳定流形定理的整个证明. \(\blacksquare\)

• 稳定流形的相切性

  下面我们证明上面提到过了一个结论 :

当 \(D\varphi(0)=0\), \(f=A+\varphi\) 在 \(0\) 的稳定流形 \(\{(x_s,g(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 在 \(0\) 处的切空间 \(\{(x_s,Dg(0)(x_s))|x_s\in E^s(b)\}\) 就是线性映射 \(A\) 的稳定子空间 \(E^s\).

关于这个结论的证明, 我们分为下面的两个方面

• 一方面

既然你 \(\eta\) 能满足

\[\mathcal{T}(x_s,\eta(x_s))=\eta(x_s) \]

那我就可以对上式两边在 \(x_s=0\) 处微分, 得到 :

\[D\mathcal{T}(0,0)(\xi_s, D\eta(0)(\xi_s))=D\eta(0)(\xi_s). \]

写开来看看:

\[D\mathcal{T}(0,0)(\xi_s, D\eta(0)(\xi_s))=(D\mathcal{T}_s(0,0)(\xi_s, D\eta(0)(\xi_s)),D\mathcal{T}_u(0,0)(\xi_s, D\eta(0)(\xi_s))) \]

\[=(x_s,D\mathcal{T}_u(0,0)(\xi_s, D\eta(0)(\xi_s))), \]

\[D\eta(0)(\xi_s, r)=(D\eta_s(0)(\xi_s, r),D\eta_u(0)(\xi_s, r))=(x_s,Dg(0)(\xi_s, r)). \]

对稳定流形证明中的(9)(10)微分, 得到 :

\[\begin{equation} D\mathcal{T}_s(0,0)(\xi_s,D\eta(0)(\xi_s))(k)=\left\{ \begin{aligned} &x_s, &&k=0 \\ &A_s r_s(k-1)+(D\varphi(0))_s r_s(k-1), &&k\ge 1 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

\[\begin{equation} D\mathcal{T}_u(0,0)(\xi_s,r)(k)=A_u^{-1}[r_u(k+1)+(D\varphi(0))_ur_u(k)], ~~k=0,1,2,\cdots \end{equation} \]

[注意: 虽然 \(r(k),k\ge 1\) 与 \(x_s\) 无关, 但是当对 \(x_s\) 求导时为什么还是要对\(r(k), k\ge 1\) 的项求导呢 ? 这是因为我们要想起最终是要将 \(r\) 换成 \(\eta(x_s)\) 的, 上述没有直接带入 \(\eta(x_s)\) 只是为了书写方便而已. ]
对于 \(D\varphi(0)=0\) 的情况, 上面的两式变为:

\[\begin{equation} D\mathcal{T}_s(0,0)(\xi_s,r)(k)=\left\{ \begin{aligned} &x_s, &&k=0 \\ &A_s r_s(k-1), &&k\ge 1 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

\[\begin{equation} D\mathcal{T}_u(0,0)(\xi_s,r)(k)=A_u^{-1}r_u(k+1), ~~k=0,1,2,\cdots \end{equation} \]

现在上面微分的作用还不明显, 下面的一步是至关重要的！

• 另一方面

  我们利用与稳定流形的证明完全相同的讨论去求线性映射 \(A\) 的局部稳定流形.

此时, 相应于(9)和(10), 我们构造的算子为 :

\[\begin{equation} \tilde{\mathcal{T}}_s(\xi_s,r)(k)=\left\{ \begin{aligned} &x_s, &&k=0 \\ &A_s r_s(k-1), &&k\ge 1 \end{aligned} \right. \end{equation} \]

\[\begin{equation} \tilde{\mathcal{T}}_u(\xi_s,r)(k)=A_u^{-1}r_u(k+1), ~~k=0,1,2,\cdots \end{equation} \]

• 把两方面结合起来

对比(17)(18)和(19)(20), 我们发现

\[\tilde{\mathcal{T}}=D\mathcal{T}(0,0). \]

很显然, \(D\mathcal{T}(0,0)\) 关于第二变元一致压缩, 因此 \(D\eta(0)(\xi_s)\) 就是 \(\tilde{\mathcal{T}}\) 唯一的不动点.
注意到 [\(g(x_s)=\eta_u(\xi_s)(0)\)]

\[D\eta(0)(\xi_s)(0)=(\xi_s,D\eta_u(0)(\xi_s)(0))=(\xi_s,Dg(0)(\xi_s)). \]

根据稳定流形定理的证明: \(A\) 的稳定流形就是 \(\{(\xi_s,Dg(0)(\xi_s))|x_s\in E^s(b)\}\), 即

\[\{(\xi_s,Dg(0)(\xi_s))|x_s\in E^s(b)\}=E^s(b), \]

换言之, \(f\) 在 \(0\) 处的稳定流形是切空间恰好就是 \(A\) 的稳定流形, 即 \(g\) 在 \(0\) 处与 \(E^s\) 是相切的.

注意：由此得到, 若 \(f\in C^1\), \(0\) 是 \(f\) 是双曲不动点, 那么 \(f\) 在 \(0\) 处的稳定流形与 \(Df(0)\) 的稳定子空间相切.

上面证明中用过但没有证明的一个基本结论：

• Banach 空间上的有界线性映射是\(C^\infty\)的

假设 \(A\) 是Banach空间\((E,||\cdot||)\)上的有限线性算子, 那么

\[||A(x+h)-Ax-DA(x)h||=o(||h||), \]

其中 \(DA(x):E\to E\) 的有界线性算子. 我们看到 \(DA(x)\equiv A,\forall x\in E\), 于是 \(DA:E\to \mathscr{L}(E,E)\) 是常值算子, 这个映射\(DA\)的连续的, 从而 \(A\in C^1\).

求 \(A\) 的二阶导算子: 任意给定 \(x\in E\), 假设 \(B:E\to L(E,L(E,E))\) 是 \(A\) 的二阶导算子, 那么

\[||DA(x+h)-DA(x)-Bh||=o(||h||). \]

由于 \(DA\) 是常值算子, 于是 \(DA(x+h)=DA(x)\), 从而 \(B=0\) 是满足上式的唯一有界线性算子, 即 \(A\) 的二阶导算子为0, 进而 \(A\) 任何大于 \(2\) 阶的导算子全为 0 且 \(A\in C^\infty\).