取模运算性质

前言

取模运算(C++中用符号%表示)是求两个数相除的余数。其概念与取余操作类似，又不完全相同。

一.运算定义

假设有整数a,b，在C++中，对于a%b：

1.取a，b绝对值进行运算取余。

2.运算结果符号与a相同。

二.基本性质

作为一种运算，与加减乘除类似，也有交换律，结合律，分配律。

1.交换律

(a + b) % p = (b + a) % p

$(a+b)\%p=(b+a)\%p$

(a \times b) % p = (b \times a) % p

$(a\times b)\%p=(b\times a)\%p$

2.结合律

((a + b) % p + c) % p = ((a + (b + c) % p)) % p

$((a+b)\; \%p +c)\%p = ((a+(b+c)\; \%p))\;\%p$

((a \times b) % p \times c) % p = ((a \times (b \times c) % p)) % p

$((a\times b)\; \%p \times c)\%p = ((a\times (b\times c)\; \%p))\;\%p$

3.分配率

比较坑的就是当 $\%p$ 移入到括号以内后，外部的 $\%p$ 仍然需要保留。

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

$(a+b)\%p=(a\%p+b\%p) \;\% p$

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p

$(a-b)\%p=(a\%p-b\%p) \% p$

(a \times b) % p = (a % p \times b % p) % p

$(a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p) \% p$

a^{b} % p = ((a % p)^{b % p}) % p

$a^b\;\%p=((a\;\%p)^{b\;\%p}) \% p$

三.应用

求解 $a\times b\; mod\;p$

快速幂的代码如下

    int a, b, p;
    cin >> a >> b >> p;
    int res = 1 % p;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (long long)res * a % p;
        a = (long long)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    cout << res << endl;

我们由快速幂的计算原理，可知 $a\times b$ 可拆成 $a\times{c_{k-1}2^{k-1}}+ a\times{c_{k-2}2^{k-2}}+...+ a\times{c_02^0}$ 的迭代形式来计算。

根据以上的加法分配率， $a\times b\; \%p$ ，则可以改写成 $(a\times{c_{k-1}2^{k-1}}\; \%p+ a\times{c_{k-2}2^{k-2}}\; \%p+...+ a\times{c_02^0}\; \%p)\;\%p$ ，因此在快速幂的代码中可以用a = (long long)a * a % p;和res = (long long)res * a % p;进行表示。