POJ 1091 容斥原理
链接：
http://poj.org/problem?id=1091
题意：
给你两个正整数n，m，让你求长度为n+1的满足条件的一个等式:a[1]*x1+a[2]*x2+a[3]*x3+...+a[n]*xn+a[n+1]*x(n+1)=1 (0<=a[i]<=m&&a[n+1]=m)
让你求一共有多少种情况满足这个条件。
要使得 a[1]*x1+a[2]*x2+a[3]*x3+...+a[n]*xn+a[n+1]*m=1 (0<=a[i]<=m)，那么a[1],a[2],a[3]....a[n+1]的最大公约数为1.
题解：
要解决此题，你需要知道的知识有扩展欧几里得，鸽巢原理，以及递归求所有的排列组合。
许多博客都举了这么一个例子：
例如:n=2,m=360
360=3^2*2^3*5 所有不满足条件的数列，最大公约数是360质因子的乘积，只要将这些组合去掉，就是要求的答案(不懂的慢慢揣摩)
那么就要先求出m的所有质因子，然后求出总的排列组合的个数，即题目中说的M^N，最后根据鸽巢原理求得最后答案。
公式为：ans=M^N-(有奇数个公因数的n元组)+(有偶数个公因数的n元组)。拿上面的例子来说就是
ans=m^n-( 有公因数2的n元组)- (有公因数3的n元组)- (有公因数5的n元组)+ (有公因数2，3的n元组) +(有公因数2，5的n元组)+ (有公因数3，5的n元组)- (有公因数2，3，5的n元组).
有公因数d的n元组，每个位置上有 (m/d)个选择（1 ~ m里面有m/d个d的倍数），根据乘法原理，可以得出有公因数d的n元组有 (m/d)^n 个.
代码：
31 ll factor[100], sz; 32 33 void prime_factor(ll n) { 34 for (ll i = 2; i*i <= n; i++) if (n%i == 0) { 35 factor[sz++] = i; 36 while (n%i == 0) n /= i; 37 } 38 if (n > 1) factor[sz++] = n; 39 } 40 41 ll mod_pow(ll x, ll n) { 42 ll res = 1; 43 while(n) { 44 if (n & 1) res *= x; 45 x *= x; 46 n >>= 1; 47 } 48 return res; 49 } 50 51 ll n, m; 52 ll p[100], sum; 53 54 void dfs(ll id, ll step, ll num) { 55 if (step == num) { 56 ll x = m; 57 rep(i, 0, num) x /= p[i]; 58 sum += mod_pow(x, n); 59 return; 60 } 61 rep(i, id, sz) { 62 p[step] = factor[i]; 63 dfs(i + 1, step + 1, num); 64 } 65 } 66 67 int main() { 68 cin >> n >> m; 69 prime_factor(m); 70 ll ans = mod_pow(m, n); 71 rep(i, 1, sz + 1) { 72 sum = 0; 73 dfs(0, 0, i); 74 if (i & 1) ans -= sum; 75 else ans += sum; 76 } 77 cout << ans << endl; 78 }
