Codeforces Round #392 (Div. 2) F. Geometrical Progression 找规律 快速幂

F. Geometrical Progression

链接：

http://codeforces.com/contest/758/problem/F

题意：

给定 n, l and r ，求项数为n, 公比不为1，且数列每一项都属于[l,r]范围的不同的 等比数列 的个数。

题解：

其实是先缩小范围然后直接枚举。

考虑数据范围1?≤?n?≤?10⁷,?1?≤?l?≤?r?≤?10⁷ 

设等比数列公比为d, d表示为 q/p，其中q或p为不同时等于1，且互质的正整数。

递增和递减数列的情况是成对出现的，即p和q互换。

所以不妨只考虑递增数列的情况，即公比d表示为q/p，其中pq互质，p为任意正整数，q>p,q为大于等于2的正整数。

则数列末项整除于q^n-1 ，其中q>=2，2^24>10^7, 故n>=24时无解。

 

n=1时为结果为r-l+1, n=2时结果为(r-l+1)*(r-l)，n>24时0.

n>=3&&n<24时,可以通过枚举出p和q的情况求解。

 

n>=3, 由于数列末项整除于q^n-1 ,则q^n-1 ≤?10^7，即枚举 p,q的上界是（10⁷）^1/(n-1)，当n=3时，这个值为3162，可以通过暴力枚举实现。

枚举p,q，

每找到一对（p,q）且gcd（p,q）==1

考虑数列末项  an= a1*q^n-1/p^{n-1  ，}

要满足 a1>=l, an<=r 的范围条件，若 l*q^n-1/p^n-1 >r 则不满足题意，continue；

若 l*q^n-1/p^n-1 <=r 则有满足[l,r]范围的等比数列

 

现在求[l,r]范围,公比为q/p，项数为n的等比数列的个数。

数列各项为 a1, a1*q/p ……a1*q^n-1/q^n-1q^n-1p^n-1  /p ^n-1/p ^n-1p^n-1q/pq/pq/p ,等比数列的个数即为a1可能的值。^n-1

末项为moa1*q^n-1/ p^n-1  所以a1必整除于p^n-1 ，即a1可能的值为 [l,r*p^n-1/q^n-1]范围内可被 p^n-1整除的, 即 （r*p^n-1/q^n-1)/p^n-1-l/p^n-1个

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL gcd(LL a, LL b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

LL pow(LL a, LL i) {
    if (i == 0) return 1;
    LL temp = pow(a, i >> 1);
    temp *= temp;
    if (i & 1) temp *= a;
    return temp;
}

int main(){
    LL l, r, n;
    cin >> n >> l >> r;
    if (n > 24) return 0 * printf("0\n");
    if (n == 1) return 0 * printf("%lld\n", r - l + 1);
    if (n == 2) return 0 * printf("%lld\n", (r - l + 1)*(r - l));
    LL upperlimit, pn, qn, ans = 0;
    upperlimit = pow(2, double(log2(1e7 + 50) / (n - 1))); 
    for (LL p = 1; p <= upperlimit; p++)
        for (LL q = p + 1; q <= upperlimit; q++)
            if (gcd(p, q) == 1){
                qn = pow(q, n - 1);
                pn = pow(p, n - 1);
                if (l*qn / pn>r) continue;
                ans += (r*pn / qn) / pn - (l - 1) / pn;
            }
    cout << ans * 2 << endl;
    return 0;
}