二分法与牛顿迭代法求方程根

1.二分法求方程根

二分法求根基于二分查找的思想。

比如求根号2的近似值，猜测它在1到2之间，则将1作为left，2作为right，反复二分比较f(mid)的平方与2的大小，直到(right-left)的精度eps控制在一定范围以内。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const double eps = 1e-5;

double f(double x)
{
	return x * x;
}

double calSqrt()
{
	double left = 1, right = 2, mid;
	while (right - left > eps)
	{
		mid = (left + right) / 2;    //避免溢出 mid = left + (right - left)/2;
		if (f(mid) > 2)
			right = mid;
		else
			left = mid;
	}
	return mid;
}

int main()
{
	cout << calSqrt();

	return 0;
}

2.牛顿迭代法求方程根

例如求f(x)=0，画图如下，求方程根即求f(x)与x轴交点的值。假设这个点叫X_n好了。

牛顿迭代法的思想是，首先取一个与X_n相近的点，假定为X₀。

作X₀在f(x)上的切线，切线与X轴相交于X₁。注意此时X₁比X₀更接近我们最终要找的X_n。

按同样的方式，继续作X₁对应的f(x)的切线，与X轴相交于X₂。反复这样做，X轴交点就会越来越逼近X_n。这就是迭代的过程，预设的精度就是循环终止的条件。

既然是迭代，自然有迭代公式，我们要寻找X_n与X_n-1之间的关系。比如说就找X₁与X₀，其实就是X₀对应的切线方程，令y=0。

切线方程

y = f(X₀)+f'(X₀)(x-X₀）

令y = 0，得 X₁ = X₀-f(X₀)/f'(X₀）

所以也有

X_n = X_n-1-f(X_n-1)/f'(X_n-1）

举个例子，求根号6的近似值。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const double eps = 1e-5;

double f(double x)
{
	return x * x - 6;
}

double calSqrt()
{
	double x_0 = 6 / 2;
	double x_1 = x_0 - f(x_0) / (2 * x_0);
	while ((x_0 - x_1) > eps)    
	{
		x_0 = x_1;
		x_1 = x_0 - f(x_0) / (2 * x_0);
	}
	return x_1;
}

int main()
{
	cout << calSqrt();

	return 0;
}

输出

2.44949