算法与数据结构基础 - 合并查找(Union Find)

Union Find算法基础

Union Find算法用于处理集合的合并和查询问题，其定义了两个用于并查集的操作：

• Find: 确定元素属于哪一个子集，或判断两个元素是否属于同一子集
• Union: 将两个子集合并为一个子集

并查集是一种树形的数据结构，其可用数组或unordered_map表示：

Find操作即查找元素的root，当两元素root相同时判定他们属于同一个子集；Union操作即通过修改元素的root(或修改parent)合并子集，下面两个图展示了id[6]由6修改为9的变化：

  

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Union Find算法应用

Union Find可用于解决集合相关问题，如判断某元素是否属于集合、两个元素是否属同一集合、求解集合个数等，算法框架如下：

    //261. Graph Valid Tree
    bool validTree(int n, vector<pair<int, int>>& edges) {
        vector<int> num(n,-1);
        for(auto edge:edges){
            //find查看两点是否已在同一集合
            int x=find(num,edge.first);
            int y=find(num,edge.second);
            if(x==y) return false;  //两点已在同一集合情况下则出现环
            //union让两点加入同一集合
            num[x]=y;
        }
        return n-1==edges.size();
    }
    int find(vector<int>&num,int i){
        if(num[i]==-1) return i;
        return find(num,num[i]);  //id[id[...id[i]...]]
    }

一些情况下为清晰和解偶会将Uinon Find实现为一个类，独立出明显的Union和Find两个操作。

相关LeetCode题：

261. Graph Valid Tree  题解

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547. Friend Circles  题解

947. Most Stones Removed with Same Row or Column  题解

200. Number of Islands  题解

 

算法优化

有两种常用的方法用来降低并查集树形结构的高度、以减少Uinon Find算法的时间复杂度，这两种方法是：

Weighting(或称作Ranking): 使用多一个数组记录每个集合的size，Uinon时将size小的集合挂到size大的集合下，例如：

对3、5 Uinon，因3所在集合元素size 4大于5所在集合元素size 2，将6挂到9下而不是将9挂到6下。

Path compression: 对一个集合下的元素直接挂到root之下，而不是挂到其parent，path compression实现很简单只需在Find中加一行代码：

    string find(unordered_map<string,string>& root,string s){
        if(root[s]!=s) 
            root[s]=find(root,root[s]);
        return root[s];
    }

加入path compression也能实现减少并查集树高度的效果，图示如下：

 

Weighting和Path compression两种方法可以同时使用，这样使得对N个元素进行M次Union Find操作的时间复杂度可以减少到 (M+N)lgN。因lgN随N的增长变化很小，所以整体算法时间复杂度接近于线性的时间复杂度。

 

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