线性代数——矩阵的运算（未完待续）

矩阵的幂运算

定义：设A为n阶矩阵，$A^k=A*A*A...$定义为A的k次方幂

性质：

1.$A^k*A^l=A^{k+l}=A^l*A^k$

2.$(A^k)^l=A^{kl}$

3.$(AB)^k!=A^kB^k$，矩阵乘法并不满足交换律

4.$(A+B)^2$=$A^2+AB+BA+B^2$当AB=BA时，有$A^2+2AB+B^2$

矩阵多项式

定义：设$φ(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$为x的m次多项式，A为n阶矩阵

记$φ(A)=a_0+a_1A+...+a_mA^m$为A的m次多项式

结论：A的两多项式$φ(A),f(A)$总是可以交换，即$f(A)φ(A)=φ(A)f(A)$

我们发现，最后每一项都变成了A的某次幂与A的某次幂的乘积，而由上面的方阵幂的性质，其满足交换律$A^k*A^l=A^{k+l}=A^l*A^k$所以可证