计算系数

先导

根据高中的数学知识二项式定理，我们可以得到

$(x+y)^n=C_{n}^0x^ny^0+C_{n-1}^1x^{n-1}y1+...+C_{n}^nx^0y^n$

我们可以这样理解，比如这样一个式子，$(x+y)^5$

如果我们要求$x^3y^2$的系数，那么我们想象成有$()()()()()$个括号连续相乘，为了得到$x^3y^2$

我们需要从$5$个括号中选出$3$个来作为$x$相乘的项，即$C_{5}^3$$(x)^3$

另外还剩下两个括号，我们选出$2$个括号作为$y$相乘的项，即$C_{2}^2(y)^2$

最后把这两个分散的项相乘得到$C_{5}^3(x)^3C_{2}^2(y)^2$

推广

那么进行推广我们可以得到

$(x+y+z)^n$如果要求$x^ay^bz^c$的系数

还是想象成有$n$个括号连续相乘

从$n$个括号中选出$a$个凑成$x^a$，即$C_{n}^a(x)^a$。

从剩下的$n-a$个括号选出$b$个凑出$y^b$，即$C_{n-a}^b(y)^b$。

最后从剩下的$n-a-b$个括号中选出$c$个凑出$z^c$，即$C_{n-a-b}^c(z)^c$

最后的最后把这些分散的项相乘就是最终$x^ay^bz^c$的系数

（注意，我这里之所以要把$x,y,z$外面带上括号，就是因为某些情况下，$x$前面的系数可能不为1，这个时候还要把$x$前面的系数也算上）

比如要求$x^3y^2$

$(2x+3y)^5=C_{5}^3(2x)^3C_{2}^2(3y)^2$

有了上面的知识储备，下面的这道题一定就非常简单了

真题

给定一个多项式$(ax+by)^k$,请求出多项式展开后$x^ny^m$项的系数。

输入格式

共一行，包含 5 个整数，分别为 $a，b，k，n，m$，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。

数据范围

$0≤n,m≤k≤1000$
$n+m=k$
$0≤a,b≤10^6$

输入样例：

1 1 3 1 2 

输出样例：

3

题解

从连续的$k$个括号中选出$n$个作为凑成$x^n$

$C_{k}^n(ax)^n$

从剩下的$k-n$个括号中选出$m$个凑成$y^m$

$C_{k-n}^{m}(by)^m$

最后答案$C_{k}^n(ax)^n$$C_{k-n}^{m}(by)^m$

所以我们的代码只需要处理

$a^n$，$b^m$，还有组合数的计算就行

代码

#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;
const int mod = 10007;
const int N = 1010;
int a, b, k, n, m;
int c[N][N];
void init() {
  for (int i = 0; i <= 1000; i++)
    for (int j = 0; j <= i; j++) {
      if (j == 0)
        c[i][j] = 1;
      else
        c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
    }
}

int qmi(int a, int b) {
  int ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) ans = (long long)ans * a % mod;
    a = (long long)a * a % mod;
    b >>= 1;
  }
  return ans % mod;
}
int main() {
  init();  //预处理出组合数
  cin >> a >> b >> k >> n >> m;
  cout << (long long)qmi(a, n) * qmi(b, m) * c[k][n] % mod;
  return 0;
}