多重背包的二进制优化
多重背包的二进制优化
输入格式
第一行两个整数，\(N \ V\)用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 \(N\) 行，每行三个整数 \(vi,wi,si\)，用空格隔开，分别表示第\(i\)种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
\(0<N≤1000\)
\(0<V≤2000\)
\(0<vi,wi,si≤2000\)
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
思路
优化多重背包的优化
首先，我们不能用完全背包的优化思路来优化这个问题，因为每组的物品的个数都不一样，是不能像之前一样推导来优化递推关系的。
我们列举一下更新次序的内部关系：（温馨提示，记得将式子对齐后进行观看）
\(f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)\)
\(f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)\) 由上两式，可得出如下递推关系
\(f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])\)
本题的优化方式
接下来，我介绍一个二进制优化的方法，假设有一组商品，一共有11个。我们知道，十进制数字 11 可以这样表示
\(11=1011(B)=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)\)
正常背包的思路下，我们要求出含这组商品的最优解，我们要枚举12次（枚举装\(0，1，2....11\)个）。
现在，如果我们把这11个商品分别打包成含商品个数为\(1\)个，\(2\)个，\(4\)个，\(4\)个（分别对应\(0001,0010,0100,0100\)）的四个”新的商品 “, 将问
题转化为\(01\)背包问题，对于每个商品，我们都只枚举一次，那么我们只需要枚举四次 ，就可以找出这含组商品的最优解。 这样就大大减
少了枚举次数。
这种优化对于大数尤其明显，例如有\(1024\)个商品，在正常情况下要枚举\(1025\)次 ， 二进制思想下转化成\(01\)背包只需要枚举\(10\)次。
优化的合理性的证明
先讲结论：上面的\(1，2，4，4\)是可以通过组合来表示出0~11中任何一个数的，还是拿\(11\)证明一下（举例一下）：
首先，\(11\)可以这样分成两个二进制数的组合：
\(11=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)\)
其中\(0111\)通过枚举这三个\(1\)的取或不取（也就是对\(0001(B)\)，\(0010(B)\)，\(0100(B)\)的组合），可以表示十进制数0~7( 刚好对应了$ 1，2，4$ 可
以组合出 \(0~7\) ) , \(0~7\)的枚举再组合上\(0100(B)\)( 即 十进制的 4 ) ，可以表示十进制数 0~11。其它情况也可以这样证明。这也是为什么，这
个完全背包问题可以等效转化为\(01\)背包问题，有木有觉得很奇妙
怎么合理划分一个十进制数?
上面我把\(11\)划分为
\(11=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)\)
是因为 0111(B)刚好是小于11的最大的尾部全为1的二进制 ( 按照上面的证明，这样的划分没毛病 ) , 然后那个尾部全为1的数又可以 分解
为 \(0000....1 , 0000....10 , 0000....100\) 等等。
总结一下敲黑板
就是先将所有的物品读入进来，然后将每个物品的\(s\)通过二进制，划分成多个进行打包，形成新的物品（价值和体积也要随之变化），每
个原来的物品都这样进行处理最后再对打包后的物品做一遍01背包即可
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
int v,w;
};
vector<node> G;
const int N=20000;
int f[N];
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
int v,w,s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>v>>w>>s;
for(int k=1;k<=s;k*=2)
{
G.push_back({k*v,k*w});
s-=k;
}
if(s>0) G.push_back({s*v,s*w});
}
for(int i=0;i<G.size();i++)
{
for(int j=m;j>=G[i].v;j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-G[i].v]+G[i].w);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
