多重背包的二进制优化

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多重背包的二进制优化

输入格式

第一行两个整数，$N \ V$用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $vi,wi,si$，用空格隔开，分别表示第$i$种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N≤1000$
$0<V≤2000$
$0<vi,wi,si≤2000$

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

思路

优化多重背包的优化

首先，我们不能用完全背包的优化思路来优化这个问题，因为每组的物品的个数都不一样，是不能像之前一样推导来优化递推关系的。

我们列举一下更新次序的内部关系：（温馨提示，记得将式子对齐后进行观看）

$f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)$

$f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)$ 由上两式，可得出如下递推关系

$f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])$

本题的优化方式

接下来，我介绍一个二进制优化的方法，假设有一组商品，一共有11个。我们知道，十进制数字 11 可以这样表示

$11=1011(B)=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)$

正常背包的思路下，我们要求出含这组商品的最优解，我们要枚举12次（枚举装$0，1，2....11$个）。

现在，如果我们把这11个商品分别打包成含商品个数为$1$个，$2$个，$4$个，$4$个（分别对应$0001,0010,0100,0100$）的四个”新的商品 “, 将问

题转化为$01$背包问题，对于每个商品，我们都只枚举一次，那么我们只需要枚举四次 ，就可以找出这含组商品的最优解。 这样就大大减

少了枚举次数。

这种优化对于大数尤其明显，例如有$1024$个商品，在正常情况下要枚举$1025$次 ， 二进制思想下转化成$01$背包只需要枚举$10$次。

优化的合理性的证明

先讲结论：上面的$1，2，4，4$是可以通过组合来表示出0~11中任何一个数的，还是拿$11$证明一下（举例一下）：

首先，$11$可以这样分成两个二进制数的组合：

$11=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)$

其中$0111$通过枚举这三个$1$的取或不取（也就是对$0001(B)$，$0010(B)$，$0100(B)$的组合），可以表示十进制数0~7( 刚好对应了$1，2，4$ 可

以组合出 $0~7$ ) , $0~7$的枚举再组合上$0100(B)$( 即 十进制的 4 ) ，可以表示十进制数 0~11。其它情况也可以这样证明。这也是为什么，这

个完全背包问题可以等效转化为$01$背包问题，有木有觉得很奇妙

怎么合理划分一个十进制数?

上面我把$11$划分为

$11=0111(B)+(11−0111(B))=0111(B)+0100(B)$

是因为 0111(B)刚好是小于11的最大的尾部全为1的二进制 ( 按照上面的证明，这样的划分没毛病 ) , 然后那个尾部全为1的数又可以 分解

为 $0000....1 , 0000....10 , 0000....100$ 等等。

总结一下敲黑板

就是先将所有的物品读入进来，然后将每个物品的$s$通过二进制，划分成多个进行打包，形成新的物品（价值和体积也要随之变化），每

个原来的物品都这样进行处理最后再对打包后的物品做一遍01背包即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int v,w;
};

vector<node> G;
const int N=20000;
int f[N];
int n,m;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	int v,w,s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v>>w>>s;
		for(int k=1;k<=s;k*=2)
		{
			G.push_back({k*v,k*w});
			s-=k;
		}
		if(s>0) G.push_back({s*v,s*w});
	}
	for(int i=0;i<G.size();i++)
	{
		for(int j=m;j>=G[i].v;j--)
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-G[i].v]+G[i].w);
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}