小凯的疑惑

小凯的疑惑

如果 a,b均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−b

首先证明 \(ab−a−b\) 不能被 \(ax+bx,x≥0,y≥0\)表示出。

反证法，假设\(ab-a-b=ax + by\)，那么\(ab=a(a+1)+ b(g+1)\)，由于\(a|ab\), \(ala(x +1)\)，所以\(a|b(y+1)\)，由于\(a,b\) 互质，所以\(a(y＋ 1)\)，由于\(y≥0\)，所以\(a<=y＋1\)，所以\(b(y＋1)≥ab\)。同理可得\(a(x ＋1)≥ab\)，所以\(a(x＋1)＋ b(y＋1)≥2ab > ab\)，矛盾。

我们可以发现，我们的答案其实是一个质数

这题比较“苟”，可以先写一个暴力然后猜结论。注意到\((a,b)\)的答案\(ans\)都为一个质数，而质数不太好，于是加上\(1\)，可以发现

\(ans+1=(a−1)∗(b−1)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a,b;
int main()
{
    cin>>a>>b;
    cout<<(a-1)*(b-1)-1<<endl;
    return 0;
}