高数----矩阵

矩阵

概念

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

\[A=\left\{\begin{matrix} a & b & c & d & e\\ f & g & h & i & j \\ k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \end{matrix} \right\} \]

类似于上面这种数表称为矩阵。A = m(行)*n(列)矩阵

特别矩阵

• 只有一行的矩阵 （行向量）

\[B=\left\{\begin{matrix} 1 & 2 & 3\end{matrix} \right\} \]

​ 矩阵B被称作 3维行向量

• 只有一列的矩阵（列向量）

\[C=\left\{\begin{matrix} 1 \\2 \\3 \\4\end{matrix} \right\} \]

​ 矩阵C被称作4维列向量

上述A可以将每一行作为一个行向量，每一列作为一个列向量，表示如下:

\[D=\left\{\begin{matrix} a1 \\a2 \\a3 \\a4\end{matrix} \right\} \]

\[E=\left\{\begin{matrix} b1 & b2 & b3 & b4 & b5\end{matrix} \right\} \]

此时 Di 表示i维行向量,Ei表示i维列向量

\[A = (a{_{ij}}){_{m*n}} \\表示m行n列的矩阵第i行j列的位置。 \]

矩阵运算

加减法

\[(A{_{m*n}}) +- (B{_{m*n}}) \]

只有同型的矩阵才能相加

\[A+-B = (A{_{ij}} +- B{_{ij}}){_{mn}} \]

数乘

\[\lambda A{_{m*n}} = (\lambda a{_{ij}}){_{m*n}} = \left\{\begin{matrix} \lambda a{_{11}} & \lambda a{_{12}}& \lambda a{_{13}} \\\lambda a{_{21}} & \lambda a{_{22}}& \lambda a{_{23}} \\\end{matrix} \right\} \]

\[\lambda可以是负数 \]

矩阵乘法

\[\lambda A{_{m*n}} * B{_{n*k}} = C{_{m*k}} = (C_{ij}){_{m*n}} \]

左矩阵列数=右矩阵行数才能进行乘法运算

A的第i行点乘B的第j列的和为C

eg

\[(\left\{\begin{matrix} 1 & 2 \\3 & 4\end{matrix} \right\}{_{2*2}})* (\left\{\begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\1 & 5 & 7 \end{matrix} \right\}{_{2*3}}) = \left\{\begin{matrix} 1*3+2*1 & 1*2+2*5 & 1*4+2*7 \\3*3+4*1 & 3*2+4*5 & 3*4+4*7 \end{matrix} \right\} {_{2*3}} \]

E 单位矩阵

E类似于下

\[E = \left\{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix} \right\} \]

• A*B = 0并不能推出A=0或者B=0

• (A*B*C) = (A*B)*C = A*(B*C)有结合律

• A*B != B*A无交换律

• \[A{^2}-B{^2} != (A-B)(A+B) \]

• \[A{^2} - E = A{^2} - E{^2} = (A+E)*(A-E) = (A-E)*(A+E) \]

转置矩阵

矩阵的所有行变成对应的列 记为

\[A{^T}或者A{^|} \]

运算

\[(A{^T}){^T} = A \\(kA){^T} = kA{^T}\\(A+B){^T} = A{^T} + B{^T} \\(A*B){^T} = B{^T} * A{^T} \\若A{^T} = A, A为对称矩阵 \]

方正的行列式

方正被记作如下：

\[A{_{n*n}} = |A|或del(A) \]

运算

\[|A{^T}| = |A|\\|\lambda A{_n}| = \lambda{^n} *|A| \\|A*B| = |A|*|B|\\|A{^k}| = |A|{^k} \]

伴随矩阵

矩阵的每一项均为该矩阵的代数余子式

eg

\[A=\left\{\begin{matrix} a & b \\c & d\end{matrix} \right\}\\A{^*} = \left\{\begin{matrix} d & -b \\-c & a\end{matrix} \right\} \\A{^*}计算方式:\\A{_{11}} = (-1){^{1+1}} * d = d \\A{_{12}} = (-1){^{1+2}} * c = -c \\ A{_{21}} = (-1){^{1+2}} * b = -b \\A{_{22}} = (-1){^{2+2}} * a = a \]

记住特殊的二阶矩阵的伴随矩阵：

主对互换，次变相反

性质

\[A*A{^*} = \left\{\begin{matrix} |A| & 0 & 0\\0 & |A| & 0\\0 & 0 & |A|\end{matrix} \right\} = |A| * E = A{^*} * A = A*A{^*} \]

逆矩阵

若AB = BAA,B称为互逆矩阵

\[A{^{-1}} = B \\B{^{-1}}=A \]

1. 只有方正矩阵才有

2. 1/A这种写法是错误的 ，但是|A|!=0可以这么写

3. 逆矩阵是唯一的

性质

\[1. A可逆<=> |A|!=0 \\2. (A{^{-1}}){^{-1}} = A , |A * A{^{-1}}| = |A|*|A{^{-1}}| = |E| = 1 \\3. A*A{^*} = |A|*E \]

特殊

\[\left\{\begin{matrix} a{_1} & 0 & 0\\0 & a{_2} & 0\\0 & 0 & a{_3}\end{matrix} \right\} {^{-1}} =\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a{_1}}& 0 & 0\\0 & \frac{1}{a{_2}} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{a{_3}}\end{matrix} \right\} \\\left\{\begin{matrix} 0 & 0 & a{_1}\\0 & a{_2} & 0\\a{_3} & 0 & 0\end{matrix} \right\} {^{-1}} =\left\{\begin{matrix} 0 & 0 & \frac{1}{a{_3}}\\0 & \frac{1}{a{_2}} & 0\\\frac{1}{a{_1}} & 0 & 0\end{matrix} \right\} \\\left\{\begin{matrix} a & b \\c & d\end{matrix} \right\} {^{-1}} = \frac{A{^*}}{|A|}=\frac{1}{(ad-bc)}*\left\{\begin{matrix} d & -b \\-c & a\end{matrix} \right\} \]

分块对角矩阵

若干横竖把A分成小矩阵

\[\left\{\begin{matrix} A{_n} & 0 \\0 & B{_m} \end{matrix} \right\} = |A{_n}| * |B{_m}|\\\left\{\begin{matrix} A & 0 \\0 & B \end{matrix} \right\} {^k} = \left\{\begin{matrix} A{^k} & 0 \\0 & B{^k} \end{matrix} \right\}\\\left\{\begin{matrix} A & 0 \\0 & B\end{matrix} \right\}{^{-1}} = \left\{\begin{matrix} A{^{-1}} & 0 \\0 & B{^{-1}} \end{matrix} \right\}\\\left\{\begin{matrix} 0 & A \\B & 0\end{matrix} \right\}{^{-1}} = \left\{\begin{matrix} 0 & B{^{-1}} \\A{^{-1}} & 0\end{matrix} \right\}\\ \]

eg

\[\left\{\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right\} {^{-1}}\\可以拆分为：\\\left\{\begin{array} {c|cc} 3 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right\}{^{-1}} =\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right\} \\ \]