算法导论 拓扑排序、强连通分量（备忘）

其实书上写很清楚了，只是写一下自己的理解备忘，没什么技术含量。

拓扑排序：

       TOPOLOGICAL-SORT(G) 可为有向无环图产生其拓扑排序，要证明这个算法的正确性，只要证对于任意边 (u,v)，有 f[v] < f[u]。因为在TOPOLOGICAL-SORT(G)算法中，总是令 f 值较大的点排在队列的前面，即“去除”（并不是真的删掉）那些 f 值较大的点。首先，当探索到 (u,v) 这条边时，v 一定不为灰色。首先，因为 u 为灰色，所以 v 一定不为灰色。再者，若 v 为白色，那么它是 u 的后续节点，有 f[v] < f[u]；如果 v 是黑色的，显然有 f[v] < f[u]。综上，f[v] < f[u]。

 

强连通分量：

定义：任意两点都可互达的点的最大集。

算法的不严格分析：（画图理解）

      一个强连通分量可以看成是一个复杂一些的圆，圆上的点可以互连。这样即使将边的方向反转，也不会改变连通性。比如 a,b,e 可以以三种顺序出现在 DFS 中，即 b、e、a，e、a、b，a、b、e。若加入图中的其他点则没有这样的性质。

      书上用的 Kosaraju 算法算法。第三行要从 f 值最大的点开始深度优先遍历。f 值最大的点（用 b 表示）可以看作是其他点的根，该点到其他点的边可以看作该点所在连通分量到外部分量的出口。由于第二行已将边反转，所以这些出口无效了，b 只与一少部分的点相连，而这一少部分的点与 b 共同构成一个强连通分量。