最长上升子序列(DP)
题目描述
给定一个长度为N的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入
第一行包含整数N。
第二行包含N个整数,表示完整序列。
1≤N≤100000,
输出
输出一个整数,表示最大长度。
样例输入
`6
1 3 2 8 5 6`
样例输出
4
分析
朴素的DP思想做:对于每个状态array[i]
,是前i个值的LIS,对于状态f[i],因为i位置前的每个位置都可能是它上一阶段的状态,所以我们需要从0到i遍历array序列,设遍历到的位置为j,那么:
如果array[i]>array[j]
,其能做出的决策有:
array[i]
加入最长上升子序列:则f[i]=max{f[j]+1,0=<j<i,array[i]>array[j]}
;
array[i]
不加入最长上升子序列:则f[i]=1
;
优化,可以注意到,我们只用考虑每一个递增子序列的最后一个数值大小,如果f[i]
大于他们最后一个数值,那么f[i]
就可以成为该子序列的最后一个数,因此
我们可以维护一个序列ans[cnt]
,代表长度为cnt
的子序列的最后一个数值大小,利用二分查找来凑最长子序列
代码如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i,a,b) for(int i = a;i < b;++i)
int main() {
int n; cin >> n;
vector<int> p(n+1),ans(n + 1,0);
int cnt = 0;ans[0] = INT_MIN;//初始化,防止第一个为负数就产生误判
f(i,1,n+1)
{
cin >> p[i];
if(p[i] > ans[cnt]) ans[++cnt] = p[i];//记录最长递增子序列的最后一个
else
{
int temp = lower_bound(ans.begin(),ans.begin() + cnt ,p[i]) - ans.begin();
ans[temp] = p[i];//二分找到第一个大于等于p[i]的数,更新
}
}
cout << cnt << endl;
}
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