三元组倍数
题目
You are given integers N and K. Find the number of triples (a,b,c) of positive integers not greater than N such that a+b,b+c and c+a are all multiples of K. The order of a,b,c does matter, and some of them can be the same.
Constraints
1≤N,K≤2×105
N and K are integer
这个题目要求找出满足条件的三元组 ((a, b, c)),使得:
- ( a + b ) 是 ( K ) 的倍数
- ( b + c ) 是 ( K ) 的倍数
- ( c + a ) 是 ( K ) 的倍数
- 其中 ( 1 \leq a, b, c \leq N )
解题思路
我们可以通过「数论+分类讨论」的方式求解这个问题。
1. 观察性质
如果 ( x+y ) 是 ( K ) 的倍数,我们可以用「同余类」来分析:
设 ( x \equiv r_x \pmod{K} ),即 ( x ) 对 ( K ) 取模的余数是 ( r_x )。
那么 ( a+b, b+c, c+a ) 都是 ( K ) 的倍数,可以得到:
[
(a + b) \equiv 0 \pmod{K}
]
[
(b + c) \equiv 0 \pmod{K}
]
[
(c + a) \equiv 0 \pmod{K}
]
这意味着:
[
2a \equiv 2b \equiv 2c \equiv 0 \pmod{K}
]
所以 ( a, b, c ) 的取模值必须相同,并且等于 ( 0 ) 或 ( K/2 )(如果 ( K ) 是偶数)。
2. 计数方案
- 计算 ( 1 \leq x \leq N ) 中 ( x \equiv 0 \pmod{K} ) 的个数:
[
C_0 = \left\lfloor \frac{N}{K} \right\rfloor
] - 如果 ( K ) 是偶数,还要计算 ( x \equiv K/2 \pmod{K} ) 的个数:
[
C_{K/2} = \left\lfloor \frac{N}{K} \right\rfloor + \left( N \bmod K \geq K/2 \right)
]
然后,满足条件的三元组数目:
- 如果 ( K ) 是奇数,只能是 ( (0,0,0) ),即:
[
C_0^3 = C_0 \times C_0 \times C_0
] - 如果 ( K ) 是偶数,可以有两种情况:
[
C_0^3 + C_{K/2}^3
]
代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main() {
ll N, K;
cin >> N >> K;
ll C0 = N / K; // 统计余数为 0 的个数
ll Ck2 = (K % 2 == 0) ? (N / K + (N % K >= K / 2)) : 0; // 统计余数为 K/2 的个数
ll result = C0 * C0 * C0;
if (K % 2 == 0) {
result += Ck2 * Ck2 * Ck2;
}
cout << result << endl;
return 0;
}
时间复杂度
整个算法的时间复杂度为 ( O(1) ),因为只涉及简单的除法和乘法运算,适用于 ( N, K \leq 200000 ) 的约束。
这道题的核心在于通过取模分析数的分布,并利用数学公式快速计算符合条件的三元组个数。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 一个费力不讨好的项目,让我损失了近一半的绩效!
· 清华大学推出第四讲使用 DeepSeek + DeepResearch 让科研像聊天一样简单!
· 实操Deepseek接入个人知识库
· CSnakes vs Python.NET:高效嵌入与灵活互通的跨语言方案对比
· 易语言 —— 开山篇