【YbtOj】虫食算
题目链接：http://noip.ybtoj.com.cn/contest/16/problem/3
说实话，我觉得这道题无论是题目（标题）还是题目（内容）都很恶心！没有一点扎实的数学基础，没有一点丰富的数学知识，没有一点巧妙的数学技巧根本做不出来！！！
Saction A 输入/数据处理
三行数据，可以用一个字符串数组来存储（只要你弄清楚字符串数组的第一个数据是行，第二个数据表示列），把这三行数据分别存进字符串的每一个组里（每一行），接着输入就结束了。
当然，输入部分最关键的不是输入，而是输入处理！
想要进行dfs，必不可少的就是对目标状态的控制，这里我们要提前考虑到输入的这个数据在搜索中的几个状态：第一，这个数在哪；第二，这个数是否已经被填过。
这个一维的字符串数组可以比拟成一个二维字符数组，但其稳定性是绝对远超字符数组，从右到左，从上到下，我们把这个字符串数组或者说是虫食算式整个遍历一遍，用v（visited）来记数字是否已被使用。在这个遍历的过程中，我们可以将这两个数组初始化，注意这里的数组里的每一项包含的是一类字母的值和状态，而不是虫食算式里的每个字母，那样太麻烦了。
在v数组中我们定义：0表示没有被用（可以用），1表示已被用（不能用填）。现在，我们将这个v数组借用一下，用它来存“这个字母是否已被遍历”，在初始化时置设定为1。由于需要一一对应（“11对应”也许更直观）的初始化，所以我们必须找到s[][]所代表的字母在字母表中的位置。因为是从右到左，从上到下，所以在循环变量为 i 和 j 的循环中s[j][i]可以用来表示指向的字符。根据ascll码，s[j][i]-'A'+1表示s[j][i]中的字母在字母表中排第s[j][i]-'A'+1位，因此只要让v[s[j][i]-'A'+1]里的值变为1即可。
考虑到在搜索的过程，其搜索的深度其实就是已经搜索了的字母的个数，而搜索的对象应该是一个字母，而不是整个虫食算式（废话，我们搜索的目的就是为了枚举每一个字母的值，当然，如果你想开N个for循环的话就是另外一个故事了，不用说这个故事的结局肯定很惨，惨到你连程序都写不出来，除非你特别牛），我们本来可以打一个26字母的跳转表，但因为这个式子的进制是不定的，很容易搜索越界，判断起来更麻烦，所以，我们可以开一个q（queue）数组，按照字母出现的顺序进行储存。
对于这个q数组，它的下标变量（如果你看不懂我在写什么，我建议你仔细阅读以下CCF对一维数组的讲解）可以单独用一个num存储，num从0开始计数，每当计入一个“字母”，就++num，为什么要先加在计入呢？很简单，我们最后的输出是按照字母表的顺序，而不是按照输入的顺序，所以我们想要计入的是这个字母在字母表中的排位，在搜索中作为一个类似指针的工具，详见下。
最后一个重要的问题！为什么初始v数组要初始为1？不是应该初始为0吗？没错我们的确应该将v数组全部初始为0，但是这样就出现了一个问题，我们希望q数组里面纪录一遍进入的字母就行了，那么重复的字母怎么记？重复的字母当然要被屏蔽掉，最好的方法就是在计入字母顺序的时候同事记录其是否已经入队，这个时候就可以借用v数组，在循环中加一个if判断该字母是否已经入队，聪明如你，你肯定知道怎么写，A部分代码如下：
1 int main() 2 { 3 cin>>n; 4 cin>>s[1]>>s[2]>>s[3]; 5 for(int i=n-1;i>=0;i--) 6 for(int j=1;j<=3;j++) 7 if(!v[s[j][i]-'A'+1]) 8 { 9 v[s[j][i]-'A'+1]=1; 10 q[++num]=s[j][i]-'A'+1; 11 } 12 memset(v,0,sizeof(v)); 13 memset(ans,-1,sizeof(ans)); 14 dfs(1); 15 return 0; 16 }
Saction B 搜索
搜索的框架很简单。
首先说一下终止条件。当搜索的深度大于进制数N（说白了就是把所有的字母搜了个遍），就return，但吸取了数毒“数独游戏”的经验，我们里一个flag，当终止条件成立时旗帜倒下，在dfs中第一个判断旗帜，如果倒下，立刻退出。
在终止条件到达时，我们可以输出答案，开一个for循环即可。
说完终止条件，我们再来看递归和回溯。我们定义搜索深度为x，在初始化里面，我们将v数组全部定义成了0，表示可以填。这里的v数组很巧妙。在某种意义上来说，它是一个空数组， 因为其中输入字母的顺序不定，所以v数组每一项的意义都是不定的，然而当它和q数组结合在一起时，就变成了一个重要的判断条件。if(!v[i])用来判断这个字母是否已经被填，接着就是递归和回溯的核心。
现在就要来谈谈q数组的奇妙转化！我们定义存储每个字母代表的数字的数组为ans，按照搜索的顺序来说应该是核q数组里面的相吻合，但是，答案的输出是要按字母表顺序的（字典序，嗯，这样更专业），但是如果把这个q数组中的值作为ans的下表变量的话，就不同了！当搜索深度为x时，q[x]表示正在搜索（枚举）在字母表里第q[x]的字母所代表的的数字，是一个顺序，将这个q[x]放在ans里面变成ans[q[x]]，就变成了第q[x]个字母所代表的数字，是一个真实的数字！这个妙用不是用言语能够说清楚的！
到此，一旦找到没有被用过的数据，就可以继续递归，但在递归之前要做一个check，判断此数是否合法，这个在Saction C讲，B部分代码如下：
1 void dfs(int x) 2 { 3 if(h) 4 return; 5 if(x>n) 6 { 7 for(int i=1;i<=n;i++) 8 cout<<ans[i]<<" "; 9 h=1; 10 return; 11 } 12 for(int i=0;i<n;i++) 13 { 14 if(!v[i]) 15 { 16 v[i]=1,ans[q[x]]=i; 17 if(check()) 18 dfs(x+1); 19 v[i]=0,ans[q[x]]=-1; 20 } 21 } 22 }
Saction C check函数
作为本题核心中的核心，自然是一点都不能忽略！
所谓数据合法，无非就是看这个数据代入虫食算式是否成立。那么考虑数学功底的时刻到了！
不管三七二十一，我们先把目前的算式导出来：开一个for循环，从右往左，一次取出从上到下的三个数，手动运算！我们定义x,y,z分别表示加数，被加数，和（是sum不是and）。接下来，我们有需要调用到s字符串数组了，聪明如你，我就直接上代码了：
1 int x=ans[s[1][i-1]-'A'+1],y=ans[s[2][i-1]-'A'+1],z=ans[s[3][i-1]-'A'+1];
取出这三个值，首先应该判断，这三个字母是不是都已经变成了数字。在初始化中，我们将ans里的值全部定义成了-1，此刻只用一次判断就可以了。接着我们就要考虑，如何判断合法。离开整个虫食算式，我们单独看一列，不难想到高精加。在高精加中最主要的就是进位。对！进位就是这个判断的关键！
我们定义一个变量t，定义当t为-1时表示进位不确定，t为其他数值时，表示进位确定，且进位为t。
那么当t不等于-1时，x+y+t肯定要等于z才成立考虑到这是一个N进制数，所以要写(x+y+t)%n==z才行。同时，如果这一列在最左边，但是竟然产生了进位，那肯定错了，这个判断比较巧妙：i是递减的（看一看s是怎么存的就知道为什么是递减的了），所以当i==1时，才遍历到了最左边。如果有进位，那么x，y，t的和处以进制一定是1。是1啊！1表示true，这么说直接用if(i==1 && (x+y+t)/n)判断就可以了！当然，事实的确如此！
第二种情况，t等于-1，这个状态下的进位是不定的，此时这个进位可能是0，也可能是1，那么用一个if同时判断x，y的和加上0与1是否合法就行了，如果两个都非法，那就肯定没戏了。当然如果i==1，也需要判断是否能产生进位，不过这个只用看(x+y)/n就行了。
完整代码如下：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 string s[5]; 4 int n,ans[30],v[30],q[30],num,h; 5 bool check() 6 { 7 int t=0; 8 for(int i=n;i;i--) 9 { 10 int x=ans[s[1][i-1]-'A'+1],y=ans[s[2][i-1]-'A'+1],z=ans[s[3][i-1]-'A'+1]; 11 if(x!=-1 && y!=-1 && z!=-1) 12 { 13 if(t!=-1) 14 { 15 if((x+y+t)%n!=z) 16 return 0; 17 if(i==1 && (x+y+t)/n) 18 return 0; 19 t=(x+y+t)/n; 20 } 21 else 22 { 23 if((x+y)%n!=z && (x+y+1)%n!=z) 24 return 0; 25 if(i==1 && (x+y)/n) 26 return 0; 27 } 28 } 29 else 30 t=-1; 31 } 32 return 1; 33 } 34 void dfs(int x) 35 { 36 if(h) 37 return; 38 if(x>n) 39 { 40 for(int i=1;i<=n;i++) 41 cout<<ans[i]<<" "; 42 h=1; 43 return; 44 } 45 for(int i=0;i<n;i++) 46 { 47 if(!v[i]) 48 { 49 v[i]=1,ans[q[x]]=i; 50 if(check()) 51 dfs(x+1); 52 v[i]=0,ans[q[x]]=-1; 53 } 54 } 55 } 56 int main() 57 { 58 cin>>n; 59 cin>>s[1]>>s[2]>>s[3]; 60 for(int i=n-1;i>=0;i--) 61 for(int j=1;j<=3;j++) 62 if(!v[s[j][i]-'A'+1]) 63 { 64 v[s[j][i]-'A'+1]=1; 65 q[++num]=s[j][i]-'A'+1; 66 } 67 memset(v,0,sizeof(v)); 68 memset(ans,-1,sizeof(ans)); 69 dfs(1); 70 return 0; 71 }
嗯，逻辑很复杂，但它就是对的，事情往往就是这样奇怪！
