数论分块学习笔记

合集 - 数学(12)

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模板#

给定一个正整数 $n$，其中 $n \leq 10^9$，考虑求

$$\sum_{i=1}^n \left\lfloor \dfrac{n}{i}\right\rfloor$$

我们可以直接模拟，时间复杂度 $\operatorname{O}(n)$。

但这样显然无法通过这个问题。

思想#

我们把 $n=10$ 的情况列出来：

$$\boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{1}\right\rfloor=10}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{2}\right\rfloor=5}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{3}\right\rfloor=3}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{4}\right\rfloor=2}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{5}\right\rfloor=2},$$

$$\boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{6}\right\rfloor=1}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{7}\right\rfloor=1}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{8}\right\rfloor=1}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{9}\right\rfloor=1}, \boxed{\left\lfloor\dfrac{10}{10}\right\rfloor=1}$$

容易发现，对于一些不同的 $i$，有相同的 $\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor$，我们可不可以把这些相同的部分一并计算来降低时间复杂度呢？

显然是可以的。

我们把这些有相同 $\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor$ 值的区间称为一个块，那么问题在于我们如何找到块长，或者说块的左右端点。

假设我们已知某个块的左端点 $l$，求解块的右端点 $r$。

记有整数 $k=\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor(i \in \left[l,r \right])$，表示这个块的数值。

显然有

$$k=\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{n}{l} \right\rfloor$$

即 $i \times k \leq n$，那么我们可以发现，当 $i=r$ 时，$r \times k$ 的值最大且 $r \times k \leq n$。

那么有：

$$r=\left\lfloor \dfrac{n}{k} \right\rfloor$$

又因为有：

$$k=\left\lfloor \dfrac{n}{l} \right\rfloor$$

代入得：

$$r=\left\lfloor \dfrac{n}{\left\lfloor \dfrac{n}{l} \right\rfloor} \right\rfloor$$

Code#

long long H(int n) {
    long long res = 0;
    if(n == 0)
        return 0;
    int l = 1,r;
    while(l <= n) {
        r = n / (n / l);
        res += 1ll * (r - l + 1) * (n / l);
        l = r + 1;
    }
    return res;
}

性质#

$\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor$ 最多只有 $2 \sqrt{n}$ 种取值。

证明：对于 $i \leq \sqrt{n}$，最多有 $\sqrt{n}$ 种取值；而对于 $i > \sqrt{n}$，有 $\dfrac{n}{i} < \sqrt{n}$，所以也最多只有 $\sqrt{n}$ 种取值，所以最多也只有 $2\sqrt{n}$ 种取值。

练习#

UVA11526 H(n)（模板题）

[CQOI2007] 余数求和

$$\text{END}$$