[SDOI2008] 仪仗队【题解】

合集 - 数学(12)

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题目描述#

作为体育委员，C 君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的 $N \times N$ 的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C 君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐（如下图）。

现在，C 君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

思路#

题目给出一个 $n \times n$ 的点阵，对于这个点阵，我们从左下角到右上角画一条斜线，分离左上部分和右下部分。

然后我们可以发现这个点阵是根据这条对角线对称的。

对于这条对角线，我们从右上角开始，对其经过的点依次进行标号。

最后发现有 n 个点。

第 1 个和第 n 个处于最角上（其中一个还是自己），不可能看到。

对于对角线上剩下的点依次进行分析。

我们已知这条线上的点是看不到的（坐标点右上角那一个点除外，单独分析）。

· · · · · 1
· · · · 2 ·
· · · 3 · ·
· · 4 · · ·
· 5 · · · ·
6 · · · · ·

我们可以发现，其中一部分与该编号的点是可以看到的点。
因此，最终是求 2 到 n-1 互质的个数。

Code#

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 40500 

using namespace std;

int prime[MAXN],cnt,phi[MAXN];
bool isprime[MAXN];

void eular()// 线性筛求欧拉函数  
{
	for(int i = 1;i <= MAXN; i++)
		isprime[i] = 1;
	isprime[1] = 0;
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= MAXN; i++)
	{
		if( isprime[i] )
		{
			prime[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		
		for(int j = 1;j <= cnt and i*prime[j] <= MAXN; j++)
		{
			isprime[i*prime[j]] = 0;
			if( i%prime[j] != 0 )
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
			else
			{
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	eular(); 
	int sum = 0;
	for(int i = 2;i < n; i++)
		sum += phi[i];
	 
	cout << sum*2 + 3;
	return 0;
}