线性筛（欧拉筛）详解

看到埃氏筛的缺点，同学们可能会想，有没有筛法能够将一个数只筛一遍呢？答案是肯定的。

线性筛思想：这个合数只会被它的最大非自身因数（对应最小质因数）筛。 这样能保证每个合数只会被筛一次。
时间复杂度：\(O(n)\),

Code：

bool a[50000];
a[1]=1;//注意1不是质数；
int p[50000],t;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
	if( a[i] == 0 )
		p[++t]=i;//是质数就记录；
	for(int j=1;j<=t && i*p[j]<=n;j++)
	{
		a[ i*p[j] ]=1;//标记合数；
		if( i%p[j] == 0 )
			break;
		//保证同一个合数不会被多个质数标记。
	}
}

最小质因数 × 最大因数（非自己） = 这个合数

\(p\) 数组中的质数是递增的,当i能整除 \(p[ j ]\) ，那么 \(i\times p[j+1]\) 这个合数肯定会被 \(p[ j ]\) 乘某个数筛掉。因此直接 \(break\)，将 \(i\times p[j+1]\)以及之后的数筛掉。

这个方法可以保证每个数都被筛掉，但又只被筛一次。

程序运行：2 加入 \(p\) 数组，枚举质数（只有2），筛去质数与 2 的乘积（筛去 4）。3 加入 \(p\) 数组（现在有2、3），枚举质数，筛去 3 与质数的乘积（筛去6、9）。4 不是质数，不加入 \(p\) 数组，枚举质数，筛去8；此时 \(4 \mod 2=0\) ，触发了 \(break\)。

如果你还不理解，让我们来看表格。

i	质数	筛去的合数
2	2	4
3	2、3	6、9
4	2、3	8
5	2、3、5	10、15、25
其余以此类推。