和式简单推倒技巧

合集 - 数学(12)

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整除枚举变换为区间枚举#

$$\sum_{d \mid n}d=\sum^{n}_{i=1} \left[i \mid n \right] \cdot i$$

我们枚举的东西叫做指标，例如上面的 $d$ 和 $i$。

指标变换（重要！！！）#

给定一个整数 $d$，对于下面这种和式，我们就可以变换指标。

$$\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n \left[ \gcd(i,j) = d\right]$$

我们令 $i=i' \cdot d,j=j' \cdot d$。

由于后面艾弗森括号中要求 $i,j$ 都包含因子 $d$，如果枚举的 $i,j$ 不都是 $d$ 的倍数时不会产生贡献。

所以我们可以不一个一个地枚举 $i,j$，而是直接枚举 $d$ 的倍数，有：

$$\sum_{i'd = 1}^n\sum_{j'd = 1}^n \left[ \gcd(i'd,j'd) = d\right]$$

然后可以变换枚举范围，这里 $i$ 的起点本来应该是 $\left\lfloor \! \frac{1}{d} \right\rfloor$，但是 $0$ 的情况没有必要讨论，所以我们从 $1$ 开始。

因为我们后面的艾弗森括号只有 $1$ 和 $0$ 两种取值，也就是说我们统计的只是公约数为 $d$ 的数对个数，所以可以进行以下的变换。

$$\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[ \gcd(i,j) = 1\right]$$

那么现在我们发现后面艾弗森括号里面的东西可以通过 $\mu * I=\varepsilon$ 进行莫比乌斯函数。

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下面的部分和莫比乌斯反演有关。

交换求和次序#

刚才那个式子可以利用莫比乌斯函数性质转化成下面这样

$$\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{k |\gcd(i,j)} \mu(k)$$

这个 $k \mid \gcd(i,j)$ 等价于 $\left[ k \mid i \right] \land \left[ k \mid j \right]$，即 $k$ 同时是 $i$ 和 $j$ 的因子。

那么我们可以把式子转化为：

$$\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{k =1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[k \mid i\right] \left[k \mid j \right] \ \mu(k)$$

$k$ 的取值与 $i,j$ 无关，我们可以把 $\mu(k)$ 提到前面去。

$$\sum_{k =1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \mu(k) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[k\mid i\right] \sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[k \mid j \right]$$

转换为整除分块形式#

对于上面的式子，我们可以把后面两部分进行整除分块。

$$\sum_{i=1}^n \left[ d \mid i \right]=\left\lfloor \dfrac{n}{d} \right\rfloor$$

这个式子表示的是，当 $d$ 确定时，区间 $\left[ 1,n \right]$ 中有多少个整数是 $d$ 的倍数，即 $\left\lfloor\dfrac{n}{d} \right\rfloor$ 个。

$$\text{END}$$