整除枚举变换为区间枚举
\[\sum_{d \mid n}d=\sum^{n}_{i=1} \left[i \mid n \right] \cdot i
\]
我们枚举的东西叫做指标，例如上面的 \(d\) 和 \(i\)。
指标变换（重要！！！）
给定一个整数 \(d\)，对于下面这种和式，我们就可以变换指标。
\[\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n \left[ \gcd(i,j) = d\right]
\]
我们令 \(i=i' \cdot d,j=j' \cdot d\)。
由于后面艾弗森括号中要求 \(i,j\) 都包含因子 \(d\)，如果枚举的 \(i,j\) 不都是 \(d\) 的倍数时不会产生贡献。
所以我们可以不一个一个地枚举 \(i,j\)，而是直接枚举 \(d\) 的倍数，有：
\[\sum_{i'd = 1}^n\sum_{j'd = 1}^n \left[ \gcd(i'd,j'd) = d\right]
\]
然后可以变换枚举范围，这里 \(i\) 的起点本来应该是 \(\left\lfloor \! \frac{1}{d} \right\rfloor\)，但是 \(0\) 的情况没有必要讨论，所以我们从 \(1\) 开始。
因为我们后面的艾弗森括号只有 \(1\) 和 \(0\) 两种取值，也就是说我们统计的只是公约数为 \(d\) 的数对个数，所以可以进行以下的变换。
\[\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[ \gcd(i,j) = 1\right]
\]
那么现在我们发现后面艾弗森括号里面的东西可以通过 \(\mu * I=\varepsilon\) 进行莫比乌斯函数。
下面的部分和莫比乌斯反演有关。
交换求和次序
刚才那个式子可以利用莫比乌斯函数性质转化成下面这样
\[\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{k |\gcd(i,j)} \mu(k)
\]
这个 \(k \mid \gcd(i,j)\) 等价于 \(\left[ k \mid i \right] \land \left[ k \mid j \right]\)，即 \(k\) 同时是 \(i\) 和 \(j\) 的因子。
那么我们可以把式子转化为：
\[\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{k =1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[k \mid i\right] \left[k \mid j \right] \ \mu(k)
\]
\(k\) 的取值与 \(i,j\) 无关，我们可以把 \(\mu(k)\) 提到前面去。
\[\sum_{k =1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \mu(k)
\sum_{i = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[k\mid i\right]
\sum_{j = 1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor} \left[k \mid j \right]
\]
转换为整除分块形式
对于上面的式子，我们可以把后面两部分进行整除分块。
\[\sum_{i=1}^n \left[ d \mid i \right]=\left\lfloor \dfrac{n}{d} \right\rfloor
\]
这个式子表示的是，当 \(d\) 确定时，区间 \(\left[ 1,n \right]\) 中有多少个整数是 \(d\) 的倍数，即 \(\left\lfloor\dfrac{n}{d} \right\rfloor\) 个。
\[\text{END}
\]
