CF479E Riding in a Lift

题目大意

一栋楼有 \(n\) 层，初始位置在 \(a\) 层，你可以移动到的 \(y\) 层满足 \(\left|x-y\right|<\left|x-b\right|\)。不可以走到 \(b\) 层或留在原地，问一共走 \(k\) 次，有多少种走法。

思路

考虑简单的 DP。

记 \(dp_{i,j}\) 表示走到第 \(i\) 层，走了 \(j\) 次的方案数，\(l,r\) 分别是能够走到第 \(i\) 层的下界和上界，显然有：

\[dp_{i,j}=\sum_{k=l}^{r}dp_{k,j-1} \left[k \neq i \right] \]

这个时间复杂度肯定爆炸，所以考虑前缀和优化。

记 $$\operatorname{sum}{i,j}=\sum^i dp_{k,j}$$
这样我们刚才的转移方程就可以变成这样：

\[dp_{i,j}=\operatorname{sum}_{r,j-1}-\operatorname{sum}_{l-1,j-1}-dp_{i,j-1} \]

时间复杂度没问题了。

考虑空间，这道题需要开 long long，如果开两个二维的 long long 数组会炸空间。但由于本题有取模，我们可以考虑在计算过程中将变量转为 long long。

也可以选择滚动数组，观察状态转移方程，显然走 \(j\) 次的方案数只与走 \(j-1\) 次的方案数有关，可以滚掉，实测空间不到 1MB。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int Mod = 1e9 + 7;

int n,k,a,b;

int dp[5050][5050],sum[5050][5050];
// dp[i][j]：走到 i 用了 j 步的方案数 
// sum：前缀和优化 

signed main() {
    cin >> n >> a >> b >> k;
    if(a > b) {
        n -= b;
        a -= b;
    }
    else {
        a = b - a;
        n = b - 1;
    }
    // 只能在 B 层的一侧活动 
    // 可以直接把 B 层当做 0 层，方便计算 
    dp[a][0] = 1;
    for(int i = a;i <= n; i++)
        sum[i][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= k; i++) {
        for(int j = 1;j <= n; j++) 
            dp[j][i] = ((long long)sum[n][i - 1] - (long long)sum[j >> 1][i - 1] - (long long)dp[j][i - 1] + 2ll * Mod) % Mod;
        for(int j = 1;j <= n; j++) 
            sum[j][i] = ((long long)sum[j - 1][i] + (long long)dp[j][i]) % Mod;
    }
    cout << sum[n][k];
    return 0;
}