刷题时遇到的结论

记录做题时遇到的一些结论，随时更新。

\(x+y=(x\ \& \ y) << 1 + x \oplus y\)

\[\]

若 \(a \oplus b=\gcd(a,b)\)，那么有 \(a-b=a \oplus b\)。

证明：
设 \(a>b\)，

因为 \(a-b \leq a \oplus b\)，则有 \(\gcd(a,b) \geq a-b\)。

那么设 \(\gcd(a,b) = c\)，令 \(a=k_1c,b=k_2c\)，则有

\[a-b=(k_1-k_2) \cdot c(k_1 \geq k_2) \]

那么有 \(\gcd(a,b) \leq a-b\)。

综上，有 \(\gcd(a,b)=a-b\)，即 \(a-b=a \oplus b\)。