错排问题详解
共有 n 张信和 n 个信封，假设所有信都装错了信封，共有多少种情况呢~
错排问题（Derangement）
概念释义
又叫错位排列、重排，即使一个排列所有的元素都不在原来的位置上。
错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。令 \({ a_k } ( 1 \leq k \leq n )\) 是 \(n,n\epsilon N\) 的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即 \(a_k \neq k\) ，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。
————————摘自《百度百科》
简要分析
我们来看一个最为经典的错排问题，信封问题：共有 \(n\) 张信和 \(n\) 个信封，假设所有信都装错了信封，共有多少种情况？
我们先定义 \(f(n)\) 为当有 \(n\) 个信封和 \(n\) 张信时，有 \(f(n)\) 种错排方案。
当 \(n = 1\) 时，信只能放在它对应的信封中，不可能出现错排情况。
故 \(f(1) = 0\)。
当 \(n = 2\) 时，只存在一种情况，即两张信交换位置。
故 \(f(2)=1\)。
当 \(n = 3\) 时，存在着 \(3、1、2\) 和 \(2、3、1\) 两种情况，我们可以将其看为 1 与 2 错排，3 与 1、2 交换位置得来的。
故 \(f(3)=2\)。
当 \(n = 4\) 时，错排有：
4 3 2 1 4 1 2 3 4 3 1 2
第一列是 \(4\) 分别与 \(123\) 互换位置，其余两个元素错排。
3 4 1 2 3 4 2 1 2 4 1 3
第二列是 \(4\) 分别与 \(312\)（ \(123\) 的一个错排）的每一个数互换。
2 1 4 3 3 1 4 2 2 3 4 1
第三列则是由另一个错排 \(231\) 和 \(4\) 换位而得到。
共 \(9\) 种情况。
根据上面的注释得知， \(f(n)\) 的值与 \(f(n-1)\) 、\(f(n-2)\) 的值有一定的关联。
那我们能否得出递推式呢？答案是肯定的。
公式推导
首先，
\(1\) 号元素必定要排在第 \(2\sim n\) 个位置的其中之一，所以有 \(n-1\) 种放法。
然后，
假设 \(1\) 号元素放在了第 \(k\) 个位置，那么下一步就要排 \(k\) 号元素。
再然后，
\(k\) 号元素的排列有两种方式：
一是放在第 \(1\) 个位置，剩下的 \(n-2\) 个元素进行错排，共有 \(f(n-2)\) 种可能；
二是不放在第 \(1\) 个位置，这时我们将第 \(1\) 个位置看作第 \(k\) 个位置，于是就形成了包括 \(k\) 号元素在内的 \(n-1\) 个元素的错排，共有 \(f(n-1)\) 种可能。
所以，\(k\) 号元素共有 \(f(n-1)+f(n-2)\) 种可能。
又因为第一号元素有 \(n-1\) 种放法，根据乘法原理。
我们得知，
递推式为：
\(f(n) =(n-1) \times (f(n-1)+f(n-2) )\)。
以上就是错排问题的全部内容了（当然只是基础部分的全部内容）
练习题
P1595 信封问题
这是一道模板题，只要你知道递推式便可以做对。此题也可以使用深度优先搜索来 AC 掉这道题。
不过需要注意的是，错排方案的增长非常快。
\(n = 13\) 时 \(int\) 会爆掉，\(n = 22\) 时 \(f(n)\) 的值就已经达到了约 \(7\times 10^{18}\) , 在 \(n = 23\) 时 \(long\) \(long\) 会爆掉。
也就是说，在处理错排问题时一定要开 \(long\) \(long\)。
当题目给出 \(n > 20\) 的范围时，我们就应该使用高精度算法了（Python、Java等略过）。
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long f(long long x)//一定要开long long
{
if( x == 1 )
return 0;
else if( x == 2 )
return 1;
else
return (x-1)*(f(x-1)+f(x-2));
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}
P3182 [HAOI2016]放棋子
这道题也是一道裸错排题，不过数据到了 \(200\) ，必定需要高精度。
