CSP模拟49

模板题、THUSC、8ady、白子说话

模板题

看似是多项式乘法模板题，实际发现最多只有 \(25\) 次询问。

那么就可以 \(O(n)\) 处理每次询问，维护一个前缀和直接处理即可，注意考虑 std::min(n,r - j) + j < l 的情况，这种情况不能计算贡献。

还有就是开 long long。

THUSC

考虑什么时候两个值相等，

\[a_i \cdot x + b_i \cdot y=a_j \cdot x + b_j \cdot y \]

那么有

\[\dfrac{x}{y}=\dfrac{b_j - b_i}{a_i - a_j} \]

显然 \(\dfrac{x}{y}\) 的值相等的值是可以互换位置的，但是 \(\dfrac{x}{y}\) 的值相等不意味最终的权值相等。

权值和 \(\dfrac{x}{y}\) 均相等的一部分我们视为一个块，这些块内部可以互换位置，\(\dfrac{x}{y}\) 相同但权值不同的块之间不能互换位置，但块之间的相对位置可以换。

所以这部分的方案数就是各个块的方案数乘起来。

数据范围是 \(10^3\)，可以直接 \(O(n^2)\) 枚举。（赛时以为数据范围 \(10^5\)，恼了）

8ady

枚举要记得剪枝，搜到第 \(k\) 个就停，不然就 TLE 挂 \(20 \ \text{pts}\) 。

正解先考虑 \(O(n^3)\) 的暴力，考虑放置每一个数得到数列 \(a\)。

首先考虑一些值的位置是确定的，考虑第 \(i\) 位小于 \(1 \sim i - 1\) 位的前缀最大值。

那么显然这个数要放在第 \(i - 1\) 个数后，第 \(i-1\) 个数最靠后会放在第 \(i-1+m-1\) 个位置，那么第 \(i\) 个数要放在第 \(i+m-1\) 个位置上。

不能再往后放，因为再向后放它就不能到达第 \(i\) 个位置了。

把确定的部分记录后，剩下的部分考虑用一种类似康托展开的方式做。

先回忆康托展开：

例如要求第 \(k\) 小的排列（无特殊限制），设排列长度为 \(n\)。

假设第 \(1\) 个位置放 \(1\)，那么共有 \((n-1)!\) 种方案。

若 \(k \leq (n-1)!\)，那么第一个位置就确定了，去枚举第二个位置；

若 \(k > (n-1)!\)，那么第一个位置不应放 \(1\)，继续枚举这个位置的下一个数。

以此类推，最终填完所有位置。

这题同样是类似这种方式，但不同的是，对每个数可以放的位置有限制。

一个数最靠前可以放在哪里？它可以由第一个位置不断向后排序到达现在的位置。

最靠后这个数可以放在 \(i + m - 1\) 位上，所以一个数有 \(\min(i+m-1,n)\) 个可以放的位置。

然后依次枚举每一位填入不同数的方案数，每填入一个数，后面的数就少了一个可以放的位置。

考虑正解，由于 \(20!>10^{18}\)，那么除了后 \(20\) 位外，其他位只需要按照字典序最小的方式排列，实际对字典序排名产生影响的只有最后 \(20\) 位，我们就对这最后 \(20\) 位跑 \(O(n^3)\) 的暴力就可以。

白子说话

咕咕咕。