CSP模拟1

合集 - CSP模拟(21)

1.CSP模拟12023-07-20

2.CSP模拟22023-07-213.CSP模拟32023-07-224.CSP模拟42023-07-255.CSP模拟72023-07-276.CSP模拟82023-07-287.模拟赛挂分记录2023-07-318.CSP模拟102023-07-319.CSP模拟152023-08-0710.CSP模拟172023-08-1011.CSP模拟202023-08-1312.CSP模拟212023-08-1413.CSP模拟222023-08-1614.CSP模拟232023-08-1715.CSP模拟242023-08-1816.CSP模拟252023-08-1917.CSP模拟272023-08-2118.CSP模拟38（残缺）2023-09-1419.CSP模拟492023-10-0620.CSP模拟502023-10-0721.CSP模拟52 & A 层联测 9 2023-10-11

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A. 随#

咕咕咕

B. 单#

• $\text{test} \ 1$：边差分，$O(n^2 \log n)$
• $\text{test} \ 2 \sim 4$：$O(n)$ 预处理距离，高斯消元

考场准备拿 $\text{40 pts}$ 走人，结果高斯消元脑抽中间用了 double，后来转 int 的时候精度出了问题，又挂了 $\text{20 pts}$。

C. 题#

前置芝士：$\text{Catalan}$ 数

$$C_n = \dfrac{1}{n+1}\dbinom{n}{2n}$$

1. type 0#

没有任何限制，那就直接排列组合。

设横向走了 $2i$ 步（有去有回），则纵向就走了 $n - 2i$ 步。

横着走的 $2i$ 步是从 $n$ 步里随机挑出来的，共有 $\dbinom{2i}{n}$ 种方案。

这 $2i$ 步里有向左走的也有向右走的，挑出向左走的方案数为 $\dbinom{i}{2i}$。

同理，纵向移动的方案数为 $\dbinom{\frac{n - 2i}{2}}{n-2i}$。

根据乘法原理

$$\sum_{i = 0}^{\frac{n}{2}}\dbinom{2i}{n}\dbinom{i}{2i}\dbinom{\frac{n - 2i}{2}}{n-2i}$$

2. type 1#

纯纯的卡特兰数定义，只能在负半轴上走，并且还得回到原点。

即 $n$ 个 $+1$ 和 $n$ 个 $-1$ 的前缀和小于等于 $0$ 的方案数，就是卡特兰数。

下面式子的 $n$ 是 $\dfrac{n}{2}$，答案为

$$\dfrac{1}{n+1}\dbinom{n}{2n}$$

3. type 2#

用 $f[i]$ 表示走了 $i$ 步回到原点的方案数，枚举第一次回到原点的方案数 $j$（$j$ 为偶数），则此时方案数为 $4 \times f[i - j] \times Cat_{\frac{j}{2} - 1}$。

为什么要 $-1$？

卡特兰数是大于等于 $0$，但我们显然不需要这个等于。

假设只在横轴上移动，设向正方向走为 $($，向负方向走为 $)$。

那么我们可以用括号序列来模拟移动的过程。

像这个序列 $(())(())$ 移动中也经过了一次原点，但是这个答案在 $(())$ 就被记录。

$-1$ 的意义就是在序列两端人为加一对括号，保证在一次 $dp$ 中不会中途回到原点。

还要考虑总共四个方向。

4. type 3#

只能在第一象限和坐标轴正半轴走，有点像卡特兰数的经典例题。

要同时保证纵向和横向走的方案都满足卡特兰数的性质，还是枚举横向走 $2i$ 步，则纵向走 $n - 2i$ 步。

那么对于每次枚举，方案数即为横向和纵向方案数的乘积，再乘上从 $n$ 步中选出某些步数横向走的方案数（考场忘记了这个，挂了 $\text{25 pts}$）。

答案为

$$\sum^{\frac{n}{2}}_{i = 0}\dbinom{2i}{n}Cat_{i}Cat_{\frac{n - 2i}{2}}$$

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D. DP搬运工 1#

咕