2023NOIP A层联测 5

恼了，Rating 是按照比赛结束前 40 分钟排行榜算的，直接掉大分。

漂亮大厨

教主的魔法 + 高橋君

前半部分直接暴力分块就可以，整的块打标记。

高橋君莫队转移。

给定 \(T\) 个询问，对于每个询问，给出 \(n,k\)，求出

\[\sum^{k}_{i=0}{n \choose i} \]

答案对 \(10^9+7\) 取模。

考虑 \(n\) 和 \(k\) 分别增加或减少 \(1\) 的情况。

以下变换运用了帕斯卡法则：

\[{n \choose k}={n - 1 \choose k}+{n - 1 \choose k - 1} \]

考虑当 \(n\) 变为 \(n+1\) 时，

\[\begin{aligned} & \ \ \ \ \ \sum^{k}_{i=0}{n+1 \choose i} \\ &= \sum^{k}_{i=0} \left( {n \choose i}+{n \choose i - 1} \right) \\ &= 2\sum^{k}_{i=0}{n \choose i} - {n \choose k} \end{aligned} \]

可以移项直接得到当 \(n\) 变为 \(n-1\) 的情况，

\[\begin{aligned} \sum^{k}_{i=0}{n - 1 \choose i} = \dfrac{1}{2} \left( \sum^{k}_{i=0}{n \choose i} + {n \choose k} \right) \end{aligned} \]

当 \(k\) 变为 \(k +1\) 时，

\[\sum^{k+1}_{i=0}{n \choose i}=\sum^{k}_{i=0}{n \choose i}+{n \choose k + 1} \]

当 \(k\) 变为 \(k-1\) 时，类似上面，

\[\sum^{k-1}_{i=0}{n \choose i}=\sum^{k}_{i=0}{n \choose i}-{n \choose k} \]

可以发现，上面四个转移只需要单个组合数，在预处理阶乘和逆元的条件下可以做到 \(O(1)\) 求组合数，所以转移是 \(O(1)\) 的。

考虑莫队进行转移，时间复杂度 \(O(n \sqrt{n})\)。

吃树

结论题。

结论：对于块的大小 \(k\)，它合法当且仅当树上有 \(\dfrac{n}{k}\) 个结点的 size 是 \(k\) 的倍数。

考虑标记树中大小为 \(k\) 的倍数的结点，那么删掉这些结点连向其父亲的边，得到的连通块个数一定为大小为 \(k\) 的倍数的结点数。

如果有超过或不足 \(\dfrac{n}{k}\) 个大小为 \(k\) 的倍数的结点，那么得到的连通块个数一定不是 \(\dfrac{n}{k}\) 个，所以充分性得证。

考虑 \(k\) 是解时，显然会分成 \(\dfrac{n}{k}\) 个大小为 \(k\) 的连通块，那么就一定存在 \(\dfrac{n}{k}\) 个大小为 \(k\) 的倍数的结点，必要性得证。

飞翔的胖鸟

不会导数，赛时看了看计算器绘图直接猜结论。

然后三分，没发现范围不是 \(10^5\) 而是 \(10^6\)（悲，还以为切了）。

正解运用导数，文化课题。

求导得

\[f'(\theta)=b - \dfrac{ah \cos \theta}{\sin^2 \theta} \]

\(\cos \theta\) 在定义域上递减，\(\sin \theta\) 在定义域上递增，那么 \(f'(\theta)\) 在定义域上单调递增。

所以 \(f(\theta)\) 有唯一最小值，可以三分。

设 \(x = \cos \theta\)，那么 \(f'(\theta)=b-\dfrac{ahx}{1-x^2}=0\)。

有

\[b(1- x^2)=ahx \]

然后得到

\[bx^2+ahx-b=0 \]

可以 \(O(1)\) 解方程得到 \(\cos \theta\)，然后可以 \(O(1)\) 回答每个询问。

注意要特判 \(b = 0\) 的情况，不然会因为除以 \(0\) 输出 nan。

漂亮轰炸

咕咕咕。