狄利克雷卷积和积性函数

合集 - 数学(12)

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9.狄利克雷卷积和积性函数2023-08-19

10.和式简单推倒技巧2023-08-2011.莫比乌斯反演学习笔记2023-08-2712.二项式定理2023-08-22

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数论函数#

数论函数指定义域为正整数，值域是一个数集且满足 $f(1) \neq 0$ 的函数。我们可以将数论函数看作一个数列。

设有 $f(n),g(n)$ 两个数论函数，有几种常见运算：

• 加法：$(f+ g)(n)=f(n)+g(n)$
• 数乘：$(af)(n)=a \cdot f(n)$
• 乘法：$(f \cdot g)(n)=f(n) \cdot g(n)$
• 复合：$f(g)(n)=f(g(n))$

此外，加法、数乘和乘法运算满足交换律、结合律、分配律和消去律。

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狄利克雷卷积（Dirichlet）#

定义#

对于两个数论函数 $f,g$，他们的狄利克雷卷积也是一个数论函数，我们记为 $h$，则 $h=f * g$。

$h$ 定义为：

$$\displaystyle h(n)=(f * g)(n)=\sum_{d \mid n}f(d) g({n\over d})$$

狄利克雷卷积符合交换律、结合律和分配律：

• 交换律：

$$\displaystyle (f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g({n\over d})=\sum_{d\mid n}f({n\over d})g(d)=(g*f)(n)$$

• 结合律：

$$\displaystyle (\ (f*g)*h\ )(n)=\sum_{i\cdot j\cdot k=n}(\ f(i)\cdot g(j)\ )\cdot h(k)=\sum_{i\cdot j\cdot k=n}f(i)(\ g(j)\cdot h(k)\ )=(\ f*(g*h)\ )(n)$$

• 分配律：

$$\displaystyle (\ (f+g)*h\ )(n)=\sum_{d\mid n}(\ f(d)+g(d)\ )\cdot h({n\over d})=\sum_{d\mid n}f(d)h({n\over d})+\sum_{d\mid n}g(d)h({n\over d})=(f*h+g*h)(n)$$

单位元：单位函数 $\epsilon$ 是狄利克雷卷积运算中的单位元，即对于任何数论函数 $f$，都有 $f * \epsilon=f$。

逆元：对于任何一个满足 $f(x)\neq 0$ 的数论函数，如果有另一个数论函数 $g(n)$ 满足 $f * g = \epsilon$，则称 $g(n)$ 是 $f(n)$ 的逆元，逆元是唯一的。

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重要结论#

两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数#

证明： 设两个积性函数为 $f(x)$ 和 $g(x)$，再记 $h=f*g$。

设 $\gcd(a,b)=1$，则：

$$h(a)=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)},h(b)=\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)},$$

所以：

$$\begin{aligned} h(a)h(b) &=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)}\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}\\ &=\sum_{d_1\mid a}{\sum_{d_2\mid b}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}}\\ &=\sum_{d_1\mid a}{\sum_{d_2\mid b}{f(d_1)f(d_2)g(\frac{a}{d_1})g(\frac{b}{d_2})}}\\ &=\sum_{d_1\mid a}{\sum_{d_2\mid b}{f(d_1d_2)g(\frac{ab}{d_1d_2})}}\\ &=\sum_{d\mid ab}{f(d)g\left(\dfrac {ab}d \right)}\\ &=h(ab) \end{aligned}$$

证毕。

积性函数的逆元也是积性函数#

几个常见数论函数的例子：

$$\begin{aligned} \varepsilon=\mu \ast 1&\iff\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\\ d=1 \ast 1&\iff d(n)=\sum_{d\mid n}1\\ \sigma=\operatorname{id} \ast 1&\iff\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\\ \varphi=\mu \ast \operatorname{id}&\iff\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \end{aligned}$$

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积性函数#

定义#

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\forall x,y\in\mathbf{N}^+,\gcd(x,y)=1$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\forall x,y\in\mathbf{N}^+$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为完全积性函数。

性质#

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，则有：

• $h(x)=f(x^p)$
• $h(x)=f^p(x)$
• $h(x)=f(x)g(x)$
• $h(x)=\sum_{d\mid x}f(d)g\left(\dfrac{x}{d}\right)$

均为积性函数。

若 $f(x)$ 为积性函数，则有 $f(x)=\prod f(p_i^{k_i})$；若 $f(x)$ 为完全积性函数，则有 $f(x)=\prod f(p_i)^{k_i}$。

常见积性函数#

• 单位函数（元函数）：$\epsilon(n)=[n=1]$。
• 欧拉函数：$\varphi(n)$，表示小于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数。
• 幂函数：$\operatorname{id}_k(n)=x^k$，特别的，$\operatorname{1}(x)=1$，$\operatorname{id}(x)=x$。
• 除数函数：$\sigma_k(x)=\sum_{d \mid x}d^k$，特别的，$\sigma(x)=\sum_{d \mid x}d$。
• 莫比乌斯函数：$\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases}$，其中 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的本质不同的质因子个数。$\omega(n)$ 是一个加性函数。这里指数论中的加性函数，对于 $\gcd(a,b)=1$，有 $f(ab) = f(a)+f(b)$。

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筛法求积性函数#

容易发现，这些积性函数的自变量取值为质数时，都可以简单地 $\operatorname{O}(1)$ 求出，那我们可以利用积性函数的性质求出函数值。

欧拉函数#

首先我们知道，当 $p$ 为质数时，显然有

$$\varphi(p)=p-1$$

欧拉函数有一种计算方法

$$\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$$

1. 考虑 $p \mid n'$，那么 $n'$ 就已经包含了 $n$ 的所有质因子。

$$\begin{aligned} \varphi(n) & = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p \times n' \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p \times \varphi(n') \end{aligned}$$

2. 考虑 $p \nmid n'$，此时 $n'$ 与 $p$ 是互质的，有“

$$\varphi(n)=\varphi(p)\times\varphi(n')$$

void Eular()// 线性筛求欧拉函数  
{
	for(int i = 1;i <= MAXN; i++)
		isprime[i] = 1;
	
	isprime[1] = 0;
	phi[1] = 1;
	
	for(int i = 2;i <= MAXN; i++) {
		if(isprime[i]) {
			prime[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		
		for(int j = 1;j <= cnt and i * prime[j] <= MAXN; j++) {
			isprime[i * prime[j]] = 0;
			if(i % prime[j] != 0)
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
			else {
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}

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莫比乌斯函数#

当 $x$ 为质数时，它只有 $x$ 一个质因数，所以 $\mu(x)=-1$。

当 $x$ 为合数时：

1. 若 $p \mid x$，那么 $p \times i$ 一定含有不只一个 $p$，所以 $\mu(i \times p)=0$；
2. 若 $p \nmid x$，那么 $p$ 就是 $p \times i$ 的新质因数，本质不同的质因数数量增加，所以 $\mu(p \times i)=-\mu(i)$。

void GetMu() {
    p[1] = 1;
    mu[1] = 1;

    for(int i = 2;i < N; i++) {
        if(p[i] == 0) {
            pri[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }

        for(int j = 1;j <= cnt && i * pri[j] < N; j++) {
            p[i * pri[j]] = 1;

            if(i % pri[j] == 0)
                break;
            
            mu[i * pri[j]] = -mu[i];
        }
    }
    return ;
}

约数个数（$\sigma_0$）#

记 $d_i$ 为 $i$ 的约数个数，$num_i$ 为 $i$ 的最小质因子出现的次数。

约数个数定理#

若 $n=\prod^{m}_{i=1}p_i^{c_i}$，则有 $d_i=\prod^m_{i=1}(c_i+1)$。

我们知道 $p_i^{c_i}$ 的约数有 $p_i^0,p_i^1,\dots,p_i^{c_i}$ 共 $c_i+1$ 个，根据乘法原理，$n$ 的约数个数为 $\prod^m_{i=1}(c_i+1)$。

实现#

若当前数为质数，

$$d_i=2,num_i=1$$

若 $prime_j \mid i$：#

此时 $i \times prime_j$ 中已经存在 $prime_j$ 这个质因子，且 $prime_j$ 也一定是 $i \times prime_j$ 的最小质因子，所以

$$d_{i \times prime_j}=(1 + c_1 +1) \times \cdots \times (c_k+1)$$

那么如何从 $d_i$ 转移呢？

$$d_{i \times prime_j}=\dfrac{d_i\times (num_i+2)}{num_i+1}$$

$num$ 也需要转移

$$num_{i \times prime_j}=num_i+1$$

若 $prime_j \nmid i$：#

那么 $i \times prime_j$ 原本一定不包含 $prime_j$ 这个质因数，所以约数个数要加上 $prime_j$ 产生的贡献。

$$d_{i \times prime_j}=d_i\times d_{prime_j}$$

$prime_j$ 一定是 $i \times prime_j$ 的最小质因子，所以有

$$num_{i \times prime_j}=1$$

void Seive(int M) {
    d[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= M; i++) {
        if(!p[i]) {
            cnt ++;
            prime[cnt] = i;
            d[i] = 2;
            num[i] = 1;
        }

        for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= M; j++) {
            p[i * prime[j]] = 1;

            if(i % prime[j] == 0) {
                num[i * prime[j]] = num[i] + 1;
                d[i * prime[j]] = d[i] / num[i * prime[j]] * (num[i * prime[j]] + 1);
                break;
            }

            num[i * prime[j]] = 1;
            d[i * prime[j]] = d[i] * 2;
        }
    }
    return ;
}

约数和（$\sigma_1$）#

记 $sigma_n$ 表示 $n$ 的约数和。

由算数基本定理可得

约数和定理：

$$sigma_n=(p_1^0+p_1^1+\cdots +p_1^{c_1})\cdot (p_2^0+p_2^1+\cdots +p_2^{c_2}) \cdots(p_k^0+p_k^1+\cdots+p_k^{c_k})$$

$p_1^{c_1}$ 的约数有 $c_1+1$ 个，

一般积性函数#

对于一般积性函数 $f$，我们考虑如何筛。

1. 考虑素数部分；
2. 以 $p \mid x$ 和 $p \nmid x$ 两种分类求出非素数部分。

我们知道 $prime_j$ 一定是 $i \times prime_j$ 的最小质因子，又因为对于 $i$ 有算术基本定理可以得到 $i=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \dots p_n^{k_n}$。

有以下两种情况（即上面写的两种讨论分类）：

1. $prime_j=p_1$，即 i % prime[j] == 0
2. $prime_j < p_1$，即 i % prime[j] != 0

对于第一种情况，$i \times prime_j$ 的质因子与 $i$ 的质因子相同，最小质因子的指数比 $i$ 大 $1$，即 $p_1(i \times prime_j)=p_1(i) +1$；

对于第二种情况，因为 $prime_j < p_1$，所以 $prime_j$ 与 $i$ 一定互质。则有 $f(i \times prime_j)=f(i) \cdot f(prime_j)$。

（以上只是大概的模板总结，实际情况具体分析）

参考资料#

1. OI Wiki
2. 积性加性函数的运算到迪利克雷卷积
3. 常见迪利克雷卷积及其证明
4. 【数学】各种积性函数的线性筛法

$$\text{END}$$