排列组合详解

合集 - 数学(12)

1.错排问题详解2022-07-292.高斯-约旦消元法详解2023-01-273.卢卡斯定理及其证明2023-02-014.[SDOI2008] 仪仗队【题解】2023-01-315.线性同余方程求解2023-01-30

6.排列组合详解2023-02-04

7.博弈论学习笔记2023-08-048.数论分块学习笔记2023-08-139.狄利克雷卷积和积性函数2023-08-1910.和式简单推倒技巧2023-08-2011.莫比乌斯反演学习笔记2023-08-2712.二项式定理2023-08-22

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一、引入#

排列组合是组合数学的基础，主要是研究各种排列和组合的情况数。

1. 加法原理#

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在同一步中，有不同类别的选择，可以将各类选择方案数累加获得总方案数。

举例说明，比如从 $A$ 城到达 $B$ 城，坐火车有 $3$ 种方案，坐飞机有 $2$ 种方案。则总共有 $2 + 3 = 5$ 种方案。

2. 乘法原理#

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在不同步骤中，有不同种方案，可以将各步方案数累乘获得总方案数。

举例说明，比如从 $A$ 城到达 $B$ 城，中间需要从 $C$ 城转乘。到达 $C$ 城有 $3$ 种方案，到达 $B$ 城有 $2$ 种方案。则总共有 $2 \times 3 = 6$ 种方案。

二、公式#

排列数：从 $n$ 个不同元素中任意选出 $m(m \leq n)$ 个，按照一定顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数。

$$A^m_n = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

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组合数：从 $n$ 个不同元素中任意选出 $m(m \leq n)$ 个的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。

$$C^m_n = \frac{A^n_m}{A^m_m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

组合数的性质#

1. 规定：$C_n^0 = 1$

2. $C^m_n = C^{n - m}_n$

3. $C^m_{n+1} = C^m_n + C^{m - 1}_n$ （从 $n + 1$ 个中抽出 $m$ 个的组合数 = 抽出元素 A 的组合数 + 抽不出元素 A 的组合数）

4. $rC^r_n = nC^{r-1}_{n-1}$

$$r C_{n}^{r}=r \cdot \dfrac{n !}{r !(n-r) !}=\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !}$$

6. $\Sigma^n_{k = 0}{C^k_n} = 2^n$

7. $C^m_n = \frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}$

$$\sum^n_{i = 0}\dbinom{n - i}{i} = F_{n + 1}$$

三、经典题型#

1. 特殊元素和位置优先#

某些问题中对于特殊的位置有要求，要提前考虑特殊的，再去正常排列或组合其他元素。

例 $1$：
由 $0,1,2,3,4,5$ 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

解答
由题已知，这是一个五位奇数，因此首位不能是 $0$，末位不能是偶数。

对于首位和末位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素把这两个位置占掉。

先排末位共有 $C^1_3$，然后排首位共有 $C_4^1$，最后排其它位置共有 $A_4^3$

由乘法原理可以算出 $ans=C^1_3 C_4^1 A_4^3$

变式训练 $1$：
用 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

解析

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2. 相邻元素捆绑#

有些元素不能分开，于是可以将这几个元素看作一个整体元素来进行排列组合。

例 $2$：
$7$ 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？

解答：
甲乙相邻，丙丁相邻，看作两个整体元素。

甲乙内部 $A^2_2$ 种方案，丙丁内部 $A^2_2$ 种方案，这两个整体元素和其他剩余 $5$ 个元素进行排列，有 $A^5_5$ 种方案。

则答案为 $ans = A^2_2A^2_2A^5_5$

变式训练 $2$：
记者要为 $5$ 名志愿者和他们帮助的 $2$ 位老人拍照，要求排成一排，$2$ 位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量？

解析

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3. 不相邻元素插空#

有些元素要求不能放在一起，我们可以将其他元素先排列好，再将这些不能放在一起的元素插在已经排好元素的空位中。

例 $3$：
一个晚会的节目有 $4$ 个舞蹈，$2$ 个相声，$3$ 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

解答：
第一步，先把 $2$ 个相声和 $3$ 个独唱排列好，共 $A^5_5$ 种方案；

第二步，将这四个舞蹈插入 $6$ 个空之中，共 $A^4_6$ 种方案。

则答案为 $ans = A^5_5A^4_6$

变式训练 $3$：
道路边上有编号 $1$ 到 $10$ 的 $10$ 盏路灯，现要关掉其中的 $3$ 盏，但不能关掉相邻的 $2$ 盏或 $3$ 盏，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解析

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4. 定序问题倍缩和空位插入#

倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

例 $4$：
$7$ 人排队，其中甲乙丙 $3$ 人顺序一定，共有多少不同的排法？

解答：
法一： 先把这几个需要固定顺序的元素和其他元素一同进行排列，即 $A^7_7$ 种；

然后再除以这几个元素的全排列数，即 $A^3_3$ 种；

答案即为

$$ans = \frac{A^7_7}{A^3_3} = A^4_7$$

法二： 设总共有 $7$ 个位置，先让除了甲乙丙之外的 $4$ 人选择位置，一共有 $A^4_7$ 种方法，剩下三个位置由于甲乙丙顺序一定，只有一种排法。

$$ans = A^4_7 \times 1 = A^4_7$$

变式训练 $4$：
停车场划出一排 $12$ 个停车位置，今有 $8$ 辆车需要停放。要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

解析

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5. 排列问题求幂#

例 $5$：
把 $6$ 名学生分配到 $7$ 个班级，共有多少种分法？

解答：
完成这件事需要分 $6$ 步，每一步都是把一名学生分班。

对于第一个学生，把他分班有 $7$ 种分法，第二个学生也是如此，以此类推。

共有 $7^6$ 种分法。

变式训练 $5$：

随堂练习#

1. P3223 [HNOI2012]排队

主要是插空法 + 高精度