排列组合详解

一、引入

排列组合是组合数学的基础，主要是研究各种排列和组合的情况数。

1. 加法原理

在同一步中，有不同类别的选择，可以将各类选择方案数累加获得总方案数。

举例说明，比如从 \(A\) 城到达 \(B\) 城，坐火车有 \(3\) 种方案，坐飞机有 \(2\) 种方案。则总共有 \(2 + 3 = 5\) 种方案。

2. 乘法原理

在不同步骤中，有不同种方案，可以将各步方案数累乘获得总方案数。

举例说明，比如从 \(A\) 城到达 \(B\) 城，中间需要从 \(C\) 城转乘。到达 \(C\) 城有 \(3\) 种方案，到达 \(B\) 城有 \(2\) 种方案。则总共有 \(2 \times 3 = 6\) 种方案。

二、公式

排列数：从 \(n\) 个不同元素中任意选出 \(m(m \leq n)\) 个，按照一定顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数。

\[A^m_n = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

组合数：从 \(n\) 个不同元素中任意选出 \(m(m \leq n)\) 个的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。

\[C^m_n = \frac{A^n_m}{A^m_m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]

组合数的性质

  1. 规定：\(C_n^0 = 1\)

  2. \(C^m_n = C^{n - m}_n\)

  3. \(C^m_{n+1} = C^m_n + C^{m - 1}_n\) （从 \(n + 1\) 个中抽出 \(m\) 个的组合数 = 抽出元素 A 的组合数 + 抽不出元素 A 的组合数）

  4. \(rC^r_n = nC^{r-1}_{n-1}\)

\[r C_{n}^{r}=r \cdot \dfrac{n !}{r !(n-r) !}=\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !} \]

  1. \(\Sigma^n_{k = 0}{C^k_n} = 2^n\)

  2. \(C^m_n = \frac{n}{m}C^{m-1}_{n-1}\)

\[\sum^n_{i = 0}\dbinom{n - i}{i} = F_{n + 1} \]

三、经典题型

1. 特殊元素和位置优先

某些问题中对于特殊的位置有要求，要提前考虑特殊的，再去正常排列或组合其他元素。

例 \(1\)：
由 \(0,1,2,3,4,5\) 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

解答
由题已知，这是一个五位奇数，因此首位不能是 \(0\)，末位不能是偶数。

对于首位和末位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素把这两个位置占掉。

先排末位共有 \(C^1_3\)，然后排首位共有 \(C_4^1\)，最后排其它位置共有 \(A_4^3\)

由乘法原理可以算出 \(ans=C^1_3 C_4^1 A_4^3\)

变式训练 \(1\)：
用 \(0\) 到 \(9\) 这 \(10\) 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

解析

2. 相邻元素捆绑

有些元素不能分开，于是可以将这几个元素看作一个整体元素来进行排列组合。

例 \(2\)：
\(7\) 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？

解答：
甲乙相邻，丙丁相邻，看作两个整体元素。

甲乙内部 \(A^2_2\) 种方案，丙丁内部 \(A^2_2\) 种方案，这两个整体元素和其他剩余 \(5\) 个元素进行排列，有 \(A^5_5\) 种方案。

则答案为 \(ans = A^2_2A^2_2A^5_5\)

变式训练 \(2\)：
记者要为 \(5\) 名志愿者和他们帮助的 \(2\) 位老人拍照，要求排成一排，\(2\) 位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量？

解析

3. 不相邻元素插空

有些元素要求不能放在一起，我们可以将其他元素先排列好，再将这些不能放在一起的元素插在已经排好元素的空位中。

例 \(3\)：
一个晚会的节目有 \(4\) 个舞蹈，\(2\) 个相声，\(3\) 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

解答：
第一步，先把 \(2\) 个相声和 \(3\) 个独唱排列好，共 \(A^5_5\) 种方案；

第二步，将这四个舞蹈插入 \(6\) 个空之中，共 \(A^4_6\) 种方案。

则答案为 \(ans = A^5_5A^4_6\)

变式训练 \(3\)：
道路边上有编号 \(1\) 到 \(10\) 的 \(10\) 盏路灯，现要关掉其中的 \(3\) 盏，但不能关掉相邻的 \(2\) 盏或 \(3\) 盏，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解析

4. 定序问题倍缩和空位插入

倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

例 \(4\)：
\(7\) 人排队，其中甲乙丙 \(3\) 人顺序一定，共有多少不同的排法？

解答：
法一： 先把这几个需要固定顺序的元素和其他元素一同进行排列，即 \(A^7_7\) 种；

然后再除以这几个元素的全排列数，即 \(A^3_3\) 种；

答案即为

\[ans = \frac{A^7_7}{A^3_3} = A^4_7 \]

法二： 设总共有 \(7\) 个位置，先让除了甲乙丙之外的 \(4\) 人选择位置，一共有 \(A^4_7\) 种方法，剩下三个位置由于甲乙丙顺序一定，只有一种排法。

\[ans = A^4_7 \times 1 = A^4_7 \]

变式训练 \(4\)：
停车场划出一排 \(12\) 个停车位置，今有 \(8\) 辆车需要停放。要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

解析

5. 排列问题求幂

例 \(5\)：
把 \(6\) 名学生分配到 \(7\) 个班级，共有多少种分法？

解答：
完成这件事需要分 \(6\) 步，每一步都是把一名学生分班。

对于第一个学生，把他分班有 \(7\) 种分法，第二个学生也是如此，以此类推。

共有 \(7^6\) 种分法。

变式训练 \(5\)：

随堂练习

1. P3223 [HNOI2012]排队

主要是插空法 + 高精度

posted @ 2023-02-04 09:34  -白简-  阅读(479)  评论(0)  编辑  收藏  举报